Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2014 (Normale)

Exercice 1 (3 points)

Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, on pose : $a_n=\underbrace{33\ldots31}_{n\text{ fois le chiffre }3}$ (le chiffre $3$ écrit $n$ fois, suivi du chiffre $1$).

1) Vérifier que les deux nombres $a_1$ et $a_2$ sont premiers.

2) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$ : $3a_n+7=10^{n+1}$.

3) Montrer que pour tout $k$ de $\mathbb{N}$ : $10^{30k+2}\equiv 7\;[31]$.

4) Montrer que pour tout $k$ de $\mathbb{N}$ : $3a_{30k+1}\equiv 0\;[31]$, puis en déduire que $31$ divise $a_{30k+1}$.

5) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$ : si $n\equiv 1\;[30]$ alors l'équation $a_n x+31y=1$ n'admet pas de solutions dans $\mathbb{Z}^2$.

Exercice 2 (3,5 points)

On rappelle que $(\mathbb{C};+;\times)$ est un corps commutatif et que $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});+;\times)$ est un anneau unitaire, de zéro $O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ et d'unité $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

Pour tout $a$ et $b$ de $\mathbb{R}$ on pose : $M(a,b)=\begin{pmatrix}a&a-b\\b&a+b\end{pmatrix}$ et on considère l'ensemble $E=\left\{M(a,b)\,/\,(a,b)\in\mathbb{R}^2\right\}$.

1) Montrer que $E$ est un sous-groupe du groupe $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}),+)$.

2) Calculer $J^2=J\times J$ sachant que $J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$, puis en déduire que $E$ n'est pas stable dans $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}),\times)$.

3) On définit sur $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ la loi de composition interne $*$ par : $A*B=A\times N\times B$ avec $N=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$.
On considère l'application $\varphi$ de $\mathbb{C}^*$ vers $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ qui associe à chaque nombre complexe non nul $a+ib$ ($a$ et $b$ réels) la matrice $M(a,b)$.

a) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{C}^*,\times)$ vers $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}),*)$.

b) On pose $E^*=E-\{O\}$.
Montrer que $\varphi(\mathbb{C}^*)=E^*$.

c) Montrer que $(E^*,*)$ est un groupe commutatif.

4) Montrer que $\forall(A,B,C)\in E^3$ : $A*(B+C)=A*B+A*C$.

5) En déduire de ce qui précède que $(E,+,*)$ est un corps commutatif.

Exercice 3 (3,5 points)

Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
Soit $\theta$ un nombre réel tel que : $\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]-\left\{\dfrac{\pi}{4}\right\}$.

1) On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante : $(E)\ \ z^2-\sqrt{2}\,e^{i\theta}z+e^{2i\theta}=0$.

a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta=\left(\sqrt{2}\,i\,e^{i\theta}\right)^2$.

b) Écrire sous forme trigonométrique les deux racines $z_1$ et $z_2$ de l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\mathbb{C}$.

2) On considère les points $I$, $J$, $T_1$, $T_2$ et $A$ d'affixes respectives $1$, $-1$, $e^{i\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}$, $e^{i\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)}$ et $\sqrt{2}\,e^{i\theta}$.

a) Montrer que les deux droites $(OA)$ et $(T_1T_2)$ sont perpendiculaires.

b) Soit $K$ le milieu du segment $[T_1T_2]$.
Montrer que les points $O$, $K$ et $A$ sont alignés.

c) En déduire que la droite $(OA)$ est la médiatrice du segment $[T_1T_2]$.

3) Soit $r$ la rotation de centre $T_1$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

a) Donner l'expression complexe de la rotation $r$.

b) Vérifier que l'affixe du point $B$ image du point $I$ par la rotation $r$ est : $b=\sqrt{2}\,e^{i\theta}+i$.

c) Montrer que les deux droites $(AB)$ et $(IJ)$ sont perpendiculaires.

4) Déterminer l'affixe du point $C$ image du point $A$ par la translation de vecteur $(-\vec{v})$.

5) Montrer que $A$ est le milieu du segment $[BC]$.

Exercice 4 (8 points)

Partie I. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=[0;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{-x\ln x}{1+x^2}$ si $x\gt 0$ et $f(0)=0$.

1) a) Montrer que $f$ est continue sur $[0;+\infty[$.

b) Étudier le signe de $f(x)$ sur $[0;+\infty[$.

2) a) Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}_+^*$ : $f\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-f(x)$.

b) Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.

c) Montrer que $\exists\alpha\in\,]0,1[$ tel que $f'(\alpha)=0$.

d) En déduire que $f'\!\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)=0$.

Partie II. On considère la fonction $F$ définie sur $[0;+\infty[$ par : $F(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$.
Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) a) Vérifier que $\forall t\in[1,+\infty[$ : $\dfrac{1}{2}\le\dfrac{t^2}{1+t^2}\le 1$.

b) Montrer que $\forall x\in[1,+\infty[$ : $F(1)-\dfrac{1}{2}(\ln x)^2\le F(x)\le F(1)-\dfrac{1}{4}(\ln x)^2$. (On remarquera que $F(x)=\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt-\int_1^x \dfrac{t^2}{1+t^2}\cdot\dfrac{\ln t}{t}\,dt$.)

c) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{F(x)}{x}$ puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.

2) a) Montrer que $F$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ puis calculer $F'(x)$.

b) Étudier les variations de $F$ sur $[0;+\infty[$.

Partie III.

1) a) Montrer que $\forall t\in\,]0,+\infty[$ : $-t\ln t\le\dfrac{1}{e}$.

b) Montrer que $\forall t\in[0,+\infty[$ : $f(t)\le\dfrac{1}{e}$.

c) En déduire que $\forall x\in\,]0,+\infty[$ : $F(x)\lt x$.

2) On considère la suite $(u_n)_{n\ge 0}$ définie par : $u_0\in\,]0;1[$ et $\forall n\in\mathbb{N}$ : $u_{n+1}=F(u_n)$.

a) Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}$ : $u_n\in\,]0,1[$.

b) Montrer que la suite $(u_n)_{n\ge 0}$ est strictement décroissante et en déduire qu'elle est convergente.

c) Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$.

Exercice 5 (2 points)

On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par : $g(x)=\dfrac{1}{x^2}\,e^{-\frac{1}{x}}$ si $x\gt 0$ et $g(0)=0$.

1) Montrer que $g$ est continue sur $[0;+\infty[$.

2) Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;+\infty[$, on pose : $L(x)=\displaystyle\int_0^x g(t)\,dt$.

a) Montrer que $L$ est continue sur $[0;+\infty[$.

b) Calculer $L(x)$ pour $x\gt 0$.

c) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}L(x)$ et en déduire la valeur de $L(0)$.

3) Pour tout entier naturel non nul $n\ge 1$, on pose : $S_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{p=0}^{p=n-1} g\!\left(\dfrac{p}{n}\right)$.
Montrer que la suite $(S_n)_{n\ge 1}$ est convergente puis déterminer sa limite.