Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2014 (Rattrapage)

Exercice 1 — Considérons trois urnes $U$, $V$ et $W$.

L'urne $W$ contient $3$ boules indiscernables au toucher : $1$ boule noire et $2$ boules blanches. Chacune des urnes $U$ et $V$ contient $4$ boules indiscernables au toucher : $2$ boules noires et $2$ boules blanches.

On considère l'expérience suivante : on tire au hasard une boule de l'urne $W$ ; si elle est blanche, on la met dans l'urne $U$, puis on tire deux boules simultanément de l'urne $U$ ; si elle est noire, on la met dans l'urne $V$, puis on tire deux boules simultanément de l'urne $V$.

1) Quelle est la probabilité pour que le tirage des deux boules soit de l'urne $U$ ?

2) Calculer la probabilité de tirer deux boules blanches à la fin de l'expérience.

3) Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches à la fin de l'expérience.
Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$.

Exercice 2 — Soit $n$ un entier naturel non nul.
On pose $c_n=2\cdot 10^{n}-1$ et $b_n=2\cdot 10^{n}+1$.

($a\wedge b$ représente le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$.)

1) Montrer que $b_n\wedge c_n=c_n\wedge 2$, puis en déduire que $b_n$ et $c_n$ sont premiers entre eux.

2) Déterminer un couple $(x_n,y_n)$ de $\mathbb{Z}^2$ vérifiant : $b_n x_n+c_n y_n=1$.

Exercice 3 — On pose $J=\,]-1,1[$.

Partie I. Soient $a$ et $b$ deux éléments de l'intervalle $J$, on pose : $a*b=\dfrac{a+b}{1+ab}$.

1) Vérifier que $(\forall (a,b)\in J^2)\;1+ab\gt 0$, puis en déduire que $*$ est une loi de composition interne dans $J$.

2) a) Montrer que la loi $*$ est commutative et associative dans $J$.

b) Montrer que la loi $*$ admet un élément neutre dans $J$ qu'on déterminera.

c) Montrer que $(J,*)$ est un groupe commutatif.

Partie II. On considère l'application $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\dfrac{e^{x}-1}{e^{x}+1}$.

1) Montrer que la fonction $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ vers $J$.

2) Soit $g$ la bijection réciproque de l'application $f$ (la détermination de $g$ n'est pas demandée). Quels que soient $x$ et $y$ de $J$, on pose : $x\perp y=f\big(g(x)\times g(y)\big)$.
Montrer que $f$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R}^{*},\times)$ vers $(J^{*},\perp)$ tel que $J^{*}=J-\{0\}$.

3) On rappelle que $(\mathbb{R}^{*},\times)$ est un groupe commutatif et on admet que la loi $\perp$ est distributive par rapport à la loi $*$ dans $J$.
Montrer que $(J,*,\perp)$ est un corps commutatif.

Exercice 4

Partie I.

1) Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation : $z^{2}+\beta=0$ (avec $\beta=i$), et soit $a$ la solution de l'équation telle que $\mathrm{Re}(a)\gt 0$.

2) a) Déterminer le module et l'argument du nombre complexe $1+a$.

b) En déduire que $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.

c) Vérifier que $(1+a)(1-a)=1+i$, en déduire la forme trigonométrique du nombre complexe $1-a$.

Partie II. Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A$, $B$, $M$ et $M'$ d'affixes respectifs $a$, $-a$, $z$ et $z'$ tels que $z\,z'+\beta=0$ (avec $\beta=i$).

1) Soit $N$ le point d'affixe $\bar{z}$, conjugué de $z$.
Montrer que les droites $(ON)$ et $(OM')$ sont perpendiculaires.

2) a) Montrer que : $z'-a=\beta\,\dfrac{z-a}{a\,z}$.

b) Montrer que si $z\neq -a$, alors $z'\neq -a$ et $\dfrac{z'-a}{z'+a}=-\dfrac{z-a}{z+a}$.

3) On suppose que les points $A$, $B$, $M$ ne sont pas alignés.
Montrer que le point $M'$ appartient au cercle circonscrit au triangle $ABM$.

Exercice 5

Partie I. Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0,+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{-\ln x}{\sqrt{x}}$, et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, unité $1$ cm.

1) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$, puis interpréter géométriquement les deux résultats obtenus.

2) Calculer $f'(x)$, puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$.

3) Pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, on considère la fonction $g_n$ définie sur $]0,1[$ par : $g_n(x)=f(x)-x^{n}$.

a) Montrer que $g_n$ est strictement décroissante sur $]0,1[$.

b) En déduire que pour tout entier $n\geq 1$ il existe $\alpha_n\in\,]0,1[$ unique, tel que : $f(\alpha_n)=(\alpha_n)^{n}$.

c) Montrer que pour tout entier $n\geq 1$ : $g_n(\alpha_{n+1})\lt 0$.

d) Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n\geq 1}$ est strictement croissante, en déduire qu'elle est convergente.

4) On pose $l=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\alpha_n$.

a) Vérifier que $0\lt\alpha_1\leq l\leq 1$.

b) Vérifier que $(\forall n\in\mathbb{N}^{*})\;h(\alpha_n)=n$ avec $h(x)=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{\ln(-\ln x)}{\ln x}$.

c) Montrer que $l=1$.

d) En déduire que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(\alpha_n)^{n}=0$.

Partie II.

1) a) Étudier le signe de l'intégrale $\displaystyle\int_{x}^{1}f(t)\,dt$ pour tout $x$ de $]0,+\infty[$.

b) En utilisant une intégration par parties, montrer que : $(\forall x\gt 0)\;\displaystyle\int_{x}^{1}f(t)\,dt=4-4\sqrt{x}+2\sqrt{x}\ln x$.

c) En déduire, en $\text{cm}^2$, l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C_f)$ et les droites d'équations respectives $x=1$, $x=e^{2}$ et $y=0$.

2) Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose : $U_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{k=n}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$.

a) Montrer que pour tous entiers naturels $n$ et $k$ tels que $n\geq 2$ et $1\leq k\leq n-1$, on a : $\dfrac{1}{n}f\!\left(\dfrac{k+1}{n}\right)\leq\displaystyle\int_{k/n}^{(k+1)/n}f(x)\,dx\leq\dfrac{1}{n}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$.

b) Montrer que $(\forall n\in\mathbb{N}^{*})\;\displaystyle\int_{1/n}^{1}f(t)\,dt\leq U_n\leq\dfrac{1}{n}f\!\left(\dfrac{1}{n}\right)+\displaystyle\int_{1/n}^{1}f(t)\,dt$.

c) En déduire que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_n=4$.

Exercice 6 — On considère la fonction $g$ définie sur $[0,+\infty[$ par : $g(x)=\displaystyle\int_{\sqrt{x}}^{1}e^{-t^{2}}\,dt$.

1) Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, on pose : $k(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$.

a) Vérifier que pour tout $x$ de $[0,+\infty[$, on a : $g(x)=-k(\sqrt{x})$.

b) Montrer que la fonction $g$ est continue sur $[0,+\infty[$ et dérivable sur $]0,+\infty[$.

c) Calculer $g'(x)$ pour tout $x\gt 0$, puis en déduire que $g$ est strictement décroissante sur $[0,+\infty[$.

2) a) Montrer que : $(\forall x\gt 0)\;\dfrac{g(x)-g(0)}{x}\lt -\dfrac{1}{2\sqrt{x}}e^{-x}$.

b) En déduire que la fonction $g$ n'est pas dérivable à droite en $0$ et donner une interprétation graphique du résultat obtenu.