Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2015 (Normale)

Exercice 1 (3 points)

1. On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation suivante :

$$(E):\; z^2-(5+i\sqrt{3})z+4+4i\sqrt{3}=0$$

• a) Vérifier que $(3-i\sqrt{3})^2$ est le discriminant de l'équation $(E)$.
• b) Déterminer $a$ et $b$ les deux solutions de l'équation $(E)$ (sachant que $b\in\mathbb{R}$).
• c) Vérifier que $b=(1-i\sqrt{3})a$.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
Soit $A$ le point d'affixe $a$ et $B$ le point d'affixe $b$.

• a) Déterminer $b_1$ l'affixe du point $B_1$ image du point $O$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
• b) Montrer que $B$ est l'image de $B_1$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\sqrt{3}$.
• c) Vérifier que : $\arg\left(\dfrac{b}{b-a}\right)\equiv\dfrac{\pi}{6}\;[2\pi]$.
• d) Soit $C$ un point, d'affixe $c$, appartenant au cercle circonscrit au triangle $OAB$ et différent de $O$ et de $A$.
  Déterminer un argument du nombre complexe $\dfrac{c}{c-a}$.

Exercice 2 (3 points)

Soit $x$ un nombre entier relatif tel que : $x^{1439}\equiv 1436\;[2015]$.

1. Sachant que $1436\times 1051-2015\times 749=1$, montrer que $1436$ et $2015$ sont premiers entre eux.

2. Soit $d$ un diviseur commun de $x$ et de $2015$.

• a) Montrer que $d$ divise $1436$.
• b) Déduire que $x$ et $2015$ sont premiers entre eux.

3.

• a) En utilisant le théorème de FERMAT, montrer que : $x^{1440}\equiv 1\;[5]$ et $x^{1440}\equiv 1\;[13]$ et $x^{1440}\equiv 1\;[31]$ (remarquer que $2015=5\times 13\times 31$).
• b) Montrer que : $x^{1440}\equiv 1\;[65]$ puis déduire que $x^{1440}\equiv 1\;[2015]$.

4. Montrer que : $x\equiv 1051\;[2015]$.

Exercice 3 (4 points)

On rappelle que $(M_2(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire dont l'unité est $I=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$ et que $(\mathbb{R},+)$ est un groupe commutatif. Pour tout réel $x$, on pose $M(x)=\begin{pmatrix}1-x & x\\-2x & 1+2x\end{pmatrix}$ et on considère l'ensemble $E=\{M(x)\,/\,x\in\mathbb{R}\}$.

On munit $E$ de la loi de composition interne $T$ définie par : $$\big(\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2\big)\quad M(x)\,T\,M(y)=M(x+y+1).$$

1. Soit $j$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $E$ définie par : $(\forall x\in\mathbb{R})\;\; j(x)=M(x-1)$.

• a) Montrer que $j$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ vers $(E,T)$.
• b) Montrer que $(E,T)$ est un groupe commutatif.

2.a) Montrer que $\big(\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2\big)\;\; M(x)\times M(y)=M(x+y+xy)$.

• b) En déduire que $E$ est une partie stable de $(M_2(\mathbb{R}),\times)$ et que la loi $\times$ est commutative dans $E$.
• c) Montrer que la loi $\times$ est distributive par rapport à la loi $T$ dans $E$.
• d) Vérifier que $M(-1)$ est l'élément neutre de $(E,T)$ et que $I$ est l'élément neutre dans $(E,\times)$.

3.a) Vérifier que $(\forall x\in\mathbb{R}-\{-1\})\;\; M(x)\times M\left(\dfrac{-x}{1+x}\right)=I$.

• b) Montrer que $(E,T,\times)$ est un corps commutatif.

Exercice 4 (6,5 points)

Partie I : Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par : $$f(0)=0\quad\text{et}\quad f(x)=x\big(1+\ln^2 x\big)\;\text{ pour } x\gt 0.$$

Soit $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2.a) Montrer que la fonction $f$ est continue à droite en $0$.

• b) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{x}$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
• c) Calculer $f'(x)$ pour $x\gt 0$, en déduire que $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$.

3.a) Montrer que la courbe $(C)$ admet un point d'inflexion I d'abscisse $e^{-1}$.

• b) Étudier la position relative de la courbe $(C)$ par rapport à la droite d'équation $y=x$.
• c) Tracer la courbe $(C)$. (On prendra $e^{-1}\approx 0,4$.)

Partie II : On considère la suite numérique $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par : $$u_0=e^{-1}\quad\text{et}\quad (\forall n\in\mathbb{N})\;\; u_{n+1}=f(u_n).$$

1. Montrer par récurrence que : $(\forall n\in\mathbb{N})\;\; e^{-1}\leqslant u_n\lt 1$.

2. Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est strictement croissante, puis déduire qu'elle est convergente.

3. On pose $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=l$.

• a) Montrer que $e^{-1}\leqslant l\leqslant 1$.
• b) Déterminer la valeur de $l$.

Partie III : Soit la fonction numérique $F$ définie sur $[0,+\infty[$ par : $$F(x)=\int_1^x f(t)\,dt.$$

1.a) Montrer que la fonction $H:x\mapsto -\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x^2\ln x$ est une primitive de la fonction $h:x\mapsto x\ln x$ sur $]0,+\infty[$.

• b) Montrer que : $(\forall x\gt 0)\;\;\displaystyle\int_1^x t\ln^2(t)\,dt=\frac{x^2}{2}\ln^2(x)-\int_1^x t\ln(t)\,dt$.
• c) En déduire que : $(\forall x\gt 0)\;\; F(x)=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3x^2}{4}-\dfrac{x^2}{2}\ln(x)+\dfrac{x^2}{2}\ln^2(x)$.

2.a) Montrer que la fonction $F$ est continue sur l'intervalle $[0,+\infty[$.

• b) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}F(x)$ puis déduire la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$.

Exercice 5 (3,5 points)

On considère la fonction numérique $g$ définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par : $$g(0)=\ln 2\quad\text{et}\quad g(x)=\int_x^{2x}\frac{e^{-t}}{t}\,dt\;\text{ pour } x\gt 0.$$

1.a) Montrer que : $(\forall x\gt 0)\;\;(\forall t\in[x,2x])\;\; e^{-2x}\leqslant e^{-t}\leqslant e^{-x}$.

• b) Montrer que : $(\forall x\gt 0)\;\; e^{-2x}\ln 2\leqslant g(x)\leqslant e^{-x}\ln 2$.
• c) En déduire que la fonction $g$ est continue à droite en $0$.

2. Montrer que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0,+\infty[$, puis calculer $g'(x)$ pour $x\gt 0$.

3.a) Montrer que : $(\forall t\gt 0)\;\; -1\leqslant\dfrac{e^{-t}-1}{t}\leqslant e^{-t}$. (On pourra utiliser le théorème des accroissements finis.)

• b) Montrer que : $(\forall x\gt 0)\;\; -1\leqslant\dfrac{g(x)-\ln 2}{x}\leqslant\dfrac{e^{-2x}-e^{-x}}{x}$.
• c) En déduire que la fonction $g$ est dérivable à droite en $0$.