Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2015 (Rattrapage)

Exercice 1 (Structures algébriques)

Partie I : On munit l'ensemble $\mathbb{R}$ par la loi de composition interne $*$ définie par : $(\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2):\ x*y = x+y - e^{xy}+1$.

1) a) Montrer que la loi $*$ est commutative dans $\mathbb{R}$.

b) Montrer que la loi $*$ admet un élément neutre qu'on déterminera.

2) Sachant que l'équation $(E):3+x-e^{2x}=0$ admet deux solutions distinctes $a$ et $b$ dans $\mathbb{R}$, montrer que la loi $*$ n'est pas associative.

Partie II : On rappelle que $(M_2(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau non commutatif unitaire dont le zéro est la matrice nulle $O$ et dont l'unité est la matrice identité $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, et $(\mathbb{C}^*,\times)$ est un groupe commutatif et que $(M_2(\mathbb{R}),+,\cdot)$ est un espace vectoriel réel.

Pour tout couple $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, on pose $M(x,y)=\begin{pmatrix} x & -2y \\ \frac{y}{2} & x \end{pmatrix}$.

On considère l'ensemble $F=\{M(x,y)/(x,y)\in\mathbb{R}^2\}$.

1) Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de l'espace $(M_2(\mathbb{R}),+,\cdot)$.

2) Montrer que $F$ est une partie stable de $(M_2(\mathbb{R}),\times)$.

3) Soit $\varphi$ l'application de $\mathbb{C}^*$ vers $F$ définie par : $(\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2):\ \varphi(x+\mathbf{i}y)=M(x,y)$.

a) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{C}^*,\times)$ vers $(F^*,\times)$.

b) On pose $F^*=F\setminus\{M(0,0)\}$.
Montrer que : $\varphi(\mathbb{C}^*)=F^*$.

c) En déduire que $(F^*,\times)$ est un groupe commutatif.

4) Montrer que $(F,+,\times)$ est un corps commutatif.

Exercice 2 (Arithmétique & Probabilités)

Partie I : Soit $a$ un élément de $\mathbb{Z}$.

1) Montrer que si $a$ et $13$ sont premiers entre eux alors : $a^{2016}\equiv 1\,[13]$.

2) On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E):x^{2015}\equiv 2\,[13]$ et $x$ une solution de $(E)$.

a) Montrer que $x$ et $13$ sont premiers entre eux.

b) Montrer que : $x\equiv 7\,[13]$.

3) Montrer que l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ est : $S=\{7+13k\,/\,k\in\mathbb{Z}\}$.

Partie II : Considérons une urne $U$ contenant cinquante boules numérotées de $1$ à $50$ indiscernables au toucher.

1) On tire au hasard une boule de l'urne. Quelle est la probabilité de tirer une boule portant un nombre solution de l'équation $(E)$ ?

2) On tire au hasard une boule de l'urne, on note son numéro et on la remet dans l'urne.
On répète cette expérience trois fois de suite. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux fois une boule portant un nombre solution de l'équation $(E)$ ?

Exercice 3 (Nombres complexes)

On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation : $(E):z^2-(1+i)z+2+2i=0$.

1) a) Vérifier que $\Delta=(1-3i)^2$ est le discriminant de l'équation $(E)$.

b) Déterminer $z_1$ et $z_2$ les solutions de l'équation $(E)$ dans $\mathbb{C}$ (on prendra $z_1$ l'imaginaire pur).

c) Montrer que $\dfrac{z_1}{z_2}=\sqrt{2}\cdot e^{i\frac{3\pi}{4}}$.

2) Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectifs $z_1$ et $z_2$.

a) Déterminer le nombre complexe $e$ l'affixe du point $E$, milieu du segment $[AB]$.

b) Soit $R$ la rotation de centre $A$ d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$, et $c$ l'affixe du point $C$ tel que $R(E)=C$.
Montrer que : $z_C=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i$.

c) Soit $D$ le point d'affixe $d=1+\dfrac{3}{2}i$.
Montrer que le nombre $\left(\dfrac{z_2-d}{c-d}\right)\times\left(\dfrac{c-z_1}{z_2-z_1}\right)$ est réel, puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.

Exercice 4 (Étude de fonction et suites)

Soit $n$ un entier naturel non nul.
On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $\mathbb{R}$ par : $f_n(x)=\dfrac{1}{1+e^{-\frac{3}{2}(x-n)}}$, et $(C_n)$ la courbe représentative de $f_n$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1) a) Calculer $\lim_{x\to+\infty}f_n(x)$ et $\lim_{x\to-\infty}f_n(x)$ puis interpréter graphiquement les deux résultats obtenus.

b) Montrer que la fonction $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ puis calculer $f_n'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

c) Montrer que la fonction $f_n$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

2) a) Montrer que le point $I_n\left(n,\dfrac{1}{2}\right)$ est un centre de symétrie pour la courbe $(C_n)$.

b) Construire la courbe $(C_1)$.

c) Calculer l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C_1)$ et les droites d'équations respectives : $x=0$, $x=1$ et $y=0$.

3) a) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, l'équation $f_n(x)=x$ admet une solution unique $u_n\in\,]0,n[$.

b) Montrer que : $(\forall n\in\mathbb{N}^*)(\forall x\in\mathbb{R}):f_{n+1}(x)\lt f_n(x)$.

c) Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est strictement décroissante, en déduire qu'elle est convergente.

d) Calculer $\lim_{n\to+\infty}u_n$.

Exercice 5 (Intégrale fonction de la borne)

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $g(x)=\displaystyle\int_x^{3x}\dfrac{\cos t}{t}\,dt$.

1) Montrer que la fonction $g$ est paire.

2) Montrer que la fonction $g$ est dérivable sur $]0,+\infty[$, puis calculer $g'(x)$ pour $x\gt 0$.

3) a) En utilisant une intégration par parties, montrer que ; pour tout $x\gt0$ : $\displaystyle\int_x^{3x}\dfrac{\cos t}{t}\,dt=\dfrac{\sin 3x-3\sin x}{3x}+\int_x^{3x}\dfrac{\sin t}{t^2}\,dt$.

b) Montrer que pour tout $x$ de $]0,+\infty[$, on a : $|g(x)|\leq\dfrac{2}{x}$ puis déduire $\lim_{x\to+\infty}g(x)$.

4) a) Montrer que : $(\forall x\gt0)\ ;\ 0\leq\displaystyle\int_x^{3x}\dfrac{1-\cos t}{t}\,dt\leq 2x$. (Remarquer que : $(\forall t\gt0);\ 1-\cos t\leq t$.)

b) Vérifier que $(\forall x\gt0);\ g(x)-\ln 3=\displaystyle\int_x^{3x}\dfrac{\cos t-1}{t}\,dt$.

c) En déduire que : $\lim_{x\to 0^+}g(x)$.