Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2016 (Normale)

Exercice 1 (3,5 pts)

On rappelle que $(M_3(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire d'unité $I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ et que $(\mathbb{C},+,\times)$ est un corps commutatif.

Pour tout $(x,y)$ de $\mathbb{R}^2$ on pose : $M(x,y)=\begin{pmatrix}x+y&0&-2y\\0&0&0\\y&0&x-y\end{pmatrix}$ et $E=\{M(x,y)\,;\,(x,y)\in\mathbb{R}^2\}$.

1) Montrer que $E$ est un sous-groupe du groupe $(M_3(\mathbb{R}),+)$.

2) Vérifier : $(\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2)\,(\forall(x',y')\in\mathbb{R}^2)\;:\;M(x,y)\times M(x',y')=M(xx'-yy',\,xy'+yx')$.

3) On pose : $E^*=E-\{M(0,0)\}$ et on considère l'application $\varphi:\mathbb{C}^*\mapsto E$ qui au nombre complexe $z=x+iy$ associe la matrice $M(x,y)$ de $E$, avec $(x,y)\in\mathbb{R}^2$.

a) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{C}^*,\times)$ vers $(E,\times)$.

b) En déduire que $(E^*,\times)$ est un groupe commutatif d'élément neutre $M(1,0)$.

4) Montrer que $(E,+,\times)$ est un corps commutatif.

5) On pose : $A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$.

a) Calculer $A\times M(x,y)$ pour $M(x,y)\in E$.

b) En déduire qu'aucun élément de $E$ n'admet pas de symétrique dans $(M_3(\mathbb{R}),\times)$.

Exercice 2 (3 pts)

Partie A : Soit $(a,b)$ dans $\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*$ tel que le nombre premier $173$ divise $a^3+b^3$.

1) Montrer que $a^{171}\equiv -b^{171}\,[173]$ (remarquer que : $171=3\times57$).

2) Montrer que : $173$ divise $a$ si et seulement si $173$ divise $b$.

3) On suppose que $173$ divise $a$.
Montrer que $173$ divise $a+b$.

4) On suppose que $173$ ne divise pas $a$.

a) En utilisant le théorème de FERMAT, montrer que : $a^{172}\equiv b^{172}\,[173]$.

b) Montrer que : $a^{171}(a+b)\equiv 0\,[173]$.

c) En déduire que $173$ divise $a+b$.

Partie B : On considère dans $\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*$ l'équation suivante : $(E)\;\;x^3+y^3=173(xy+1)$.

Soit $(x,y)$ un élément de $\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*$ solution de $(E)$, on pose $x+y=173k$ avec $k\in\mathbb{N}^*$.

1) Vérifier que : $k(x-y)^2+(k-1)xy=1$.

2) Montrer que : $k=1$, puis résoudre l'équation $(E)$.

Exercice 3 (3,5 pts)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.

On considère dans le plan complexe deux points $M_1$ et $M_2$ tels que les points $O$, $M_1$ et $M_2$ sont distincts deux à deux et non alignés.

Soient $z_1$ et $z_2$ les affixes respectives des points $M_1$ et $M_2$ et soit $M$ le point dont l'affixe $z$ vérifie la relation : $z=\dfrac{2z_1z_2}{z_1+z_2}$.

1) a) Montrer que : $\dfrac{z_1-z}{z_2-z}\times\dfrac{z_2}{z_1}=-1$.

b) En déduire que le point $M$ appartient au cercle circonscrit au triangle $OM_1M_2$.

2) Montrer que si $z_2=\overline{z_1}$ alors $M$ appartient à l'axe des réels.

3) On suppose que $M_2$ est l'image de $M_1$ par la rotation de centre $O$ et de mesure d'angle $\alpha$ où $\alpha$ est un réel de l'intervalle $\,]0;\pi[\,$.

a) Calculer $z_2$ en fonction de $z_1$ et de $\alpha$.

b) Montrer que le point $M$ appartient à la médiatrice du segment $[M_1M_2]$.

4) Soit $\theta$ un réel donné de l'intervalle $\,]0;\pi[\,$.
On suppose que $z_1$ et $z_2$ sont les deux solutions de l'équation : $6t^2-(e^{i\theta}+1)t+(e^{i\theta}-1)=0$.

a) Sans calculer $z_1$ et $z_2$ vérifier que : $z=2\dfrac{e^{i\theta}-1}{e^{i\theta}+1}$.

b) Donner en fonction de $\theta$, la forme trigonométrique du nombre complexe $z$.

Exercice 4 (7 pts)

Partie A :

1) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $t\mapsto e^{-t}$, montrer que pour tout réel strictement positif $x$, il existe un réel $\theta$ compris entre $0$ et $x$ tel que : $e^{\theta}=\dfrac{x}{1-e^{-x}}$.

2) En déduire que :

a) $(\forall x\gt 0)\;;\;1-x\lt e^{-x}$.

b) $(\forall x\gt 0)\;;\;x+1\lt e^{x}$.

c) $(\forall x\gt 0)\;;\;0\lt \ln\!\left(\dfrac{x e^{x}}{e^{x}-1}\right)\lt x$.

Partie B : On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{x e^{x}}{e^{x}-1}$ si $x\gt 0$ et $f(0)=1$.
Soit $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1) a) Montrer que la fonction $f$ est continue à droite en $0$.

b) Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=0$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2) a) Montrer que : $(\forall x\ge 0)\;;\;x-\dfrac{x^2}{2}\le -e^{-x}+1$ (On pourra utiliser le résultat de la question 2-a) de la première partie).

b) En déduire que : $(\forall x\ge 0)\;;\;\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{6}\le e^{-x}+x-1\le \dfrac{x^2}{2}$.

3) a) Vérifier que : $(\forall x\gt 0)\;;\;\dfrac{f(x)-1}{x}=\dfrac{e^{-x}+x-1}{x^2}\,f(x)$.

b) En déduire que : $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-1}{x}=\dfrac{1}{2}$ puis interpréter le résultat obtenu.

4) a) Montrer que $f$ est dérivable en tout point de $\,]0;+\infty[\,$ et que : $(\forall x\gt 0)\;;\;f'(x)=\dfrac{e^{x}(e^{x}-1-x)}{(e^{x}-1)^2}$.

b) En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ (On pourra utiliser le résultat de la question 2-b) de la première partie).

Partie C : On considère la suite numérique $(u_n)_{n\ge0}$ définie par : $u_0\gt 0$ et $u_{n+1}=\ln(f(u_n))$ pour $n\in\mathbb{N}$.

1) Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n\gt 0$.

2) Montrer que la suite $(u_n)_{n\ge0}$ est strictement décroissante et en déduire qu'elle est convergente (On pourra utiliser le résultat de la question 2-c) de la première partie).

3) Montrer que $0$ est l'unique solution de l'équation : $\ln(f(u_n))=x$ puis déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n\ge0}$.

Exercice 5 (3 pts)

On considère la fonction numérique $F$ définie sur l'intervalle $I=\,]0;+\infty[$ par : $F(x)=\displaystyle\int_{\ln(2)}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{e^{t}-1}}\,dt$.

1) a) Étudier le signe de $F(x)$ pour tout $x$ de $I$.

b) Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur l'intervalle $I$ et calculer $F'(x)$ pour tout $x$ de $I$.

c) Montrer que la fonction $F$ est strictement croissante sur l'intervalle $I$.

2) a) En utilisant la technique de changement de variable en posant : $u=\sqrt{e^{t}-1}$, montrer que pour tout $x$ de $I$ on a : $\displaystyle\int_{\ln(2)}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{e^{t}-1}}\,dt=2\arctan\!\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)-\dfrac{\pi}{2}$.

b) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0^+}F(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)$.

3) a) Montrer que la fonction $F$ est une bijection de l'intervalle $I$ dans un intervalle $J$ que l'on déterminera.

b) Déterminer $F^{-1}$ la bijection réciproque de $F$.