Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2016 (Rattrapage)

Exercice 1 (3 pts) — Probabilités

On a deux boîtes $U$ et $V$. La boîte $U$ contient $4$ boules rouges et $4$ boules bleues. La boîte $V$ contient deux boules rouges et $4$ boules bleues.

On considère l'épreuve suivante : On tire au hasard une boule de la boîte $U$. Si elle est rouge, on la remet dans la boîte $V$ puis on tire au hasard une boule de la boîte $V$ ; si elle est bleue on la pose de côté puis on tire une boule de la boîte $V$.

Soient les événements suivants :

$R_U$ : « La boule tirée de la boîte $U$ est rouge »
$B_U$ : « La boule tirée de la boîte $U$ est bleue »
$R_V$ : « La boule tirée de la boîte $V$ est rouge »
$B_V$ : « La boule tirée de la boîte $V$ est bleue »

1. Calculer la probabilité de chacun des deux événements $R_U$ et $B_U$.

2. a) Calculer la probabilité de l'événement $B_V$ sachant que l'événement $R_U$ est réalisé.

b) Calculer la probabilité de l'événement $B_V$ sachant que l'événement $B_U$ est réalisé.

3. Montrer que la probabilité de l'événement $B_V$ est $\dfrac{13}{21}$.

4. En déduire la probabilité de l'événement $R_V$.

Exercice 2 (3,5 pts) — Structures algébriques

On rappelle que $(M_3(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire d'unité $I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ et que $(\mathbb{C},+,\times)$ est un corps commutatif.

Pour chaque nombre complexe $z=x+iy$ où $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ on pose : $M(z)=\begin{pmatrix}x+2y&0&5y\\0&1&0\\-y&0&x-2y\end{pmatrix}$ et on considère l'ensemble $E=\{M(z)\,/\,z\in\mathbb{C}\}$.

1. On munit $E$ de la loi de composition interne $*$ définie par :

$(\forall z\in\mathbb{C})\;(\forall z'\in\mathbb{C})\;:\; M(z)*M(z')=M(z)+M(z')-M(0)$.

Montrer que $(E,*)$ est un groupe commutatif.

2. On considère l'application $\varphi:\mathbb{C}^*\mapsto E$ qui associe au nombre complexe $z$ de $\mathbb{C}^*$ la matrice $M(z)$ de $E$.

a) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{C}^*,\times)$ dans $(E,\times)$.

b) En déduire que $(E-\{M(0)\},\times)$ est un groupe commutatif.

3. Montrer que $(E,*,\times)$ est un corps commutatif.

Exercice 3 (3,5 pts) — Nombres complexes

On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation : $(E)\;:\;z^2-(1+\sqrt{3})(1+i)\,z+4i=0$.

1. a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est : $\Delta=\big[(\sqrt{3}-1)(1-i)\big]^2$.

b) Écrire sous forme trigonométrique les deux solutions de $(E)$.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
On considère les deux points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a=1+i\sqrt{3}$ et $b=\sqrt{3}+i$.

a) Montrer que l'ensemble $(D)$ des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie $z=\dfrac{1}{2}\,a\bar{z}$ est une droite qui passe par le point $B$.

b) Soient $M$ et $M'$ deux points d'affixes respectives $z$ et $z'$ tels que : $z'=a\bar{z}-b$ et $z\neq b$.
Montrer que : $\dfrac{b^2}{(z'-b)(z-b)}=\dfrac{2}{|z-b|^2}$.

c) En déduire que la droite $(D)$ est une bissectrice de l'angle $\big(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{BM'}\big)$.

Exercice 4 (6,5 pts) — Analyse : étude de $f_n$ et suite $(\alpha_n)$

$n$ est un entier naturel non nul.
Soit $f_n$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par : $f_n(x)=\ln(x)-\dfrac{n}{x}$ et soit $(C_n)$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. a) Étudier les deux branches infinies de la courbe $(C_n)$.

b) Étudier les variations de la fonction $f_n$ sur $]0;+\infty[$ puis donner son tableau de variation.

c) Construire $(C_2)$.

2. Montrer que la fonction $f_n$ est une bijection de $]0;+\infty[$ dans $\mathbb{R}$.

3. a) Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, il existe un unique nombre réel $\alpha_n$ de l'intervalle $]0;+\infty[$ tel que : $f_n(\alpha_n)=0$.

b) Comparer $f_n(x)$ et $f_{n+1}(x)$ pour tout $x$ de $]0;+\infty[$.

c) Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n\ge 1}$ est strictement croissante.

4. a) Montrer que : $(\forall x\gt 0)\;;\;\ln(x)\lt x$.

b) Montrer que : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\alpha_n=+\infty$.

5. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ on pose : $I_n=\dfrac{1}{\alpha_{n+1}-\alpha_n}\displaystyle\int_{\alpha_n}^{\alpha_{n+1}}f_n(x)\,dx$.

a) Montrer que : $(\forall n\in\mathbb{N}^*)\;(\exists c_n\in[\alpha_n;\alpha_{n+1}])\;:\;I_n=f_n(c_n)$.

b) Montrer que : $(\forall n\in\mathbb{N}^*)\;\;0\le I_n\le\dfrac{1}{\alpha_{n+1}}$.

c) Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n$.

Exercice 5 (3,5 pts) — Analyse : fonction $g_n$ et suite $(u_n)$

$n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
On considère la fonction numérique $g_n$ à variable réelle $x$ définie sur l'intervalle $[n;+\infty[$ par : $g_n(x)=\displaystyle\int_n^x\dfrac{1}{\ln(t)}\,dt$.

1. a) Montrer que la fonction $g_n$ est dérivable sur l'intervalle $[n;+\infty[$ puis déterminer sa fonction dérivée première $g_n'$.

b) Montrer que la fonction $g_n$ est strictement croissante sur l'intervalle $[n;+\infty[$.

2. a) Montrer que : $(\forall x\ge n)\;;\;g_n(x)\ge\ln\!\Big(\dfrac{x-1}{n-1}\Big)$. (On pourra utiliser l'inégalité : $(\forall t\ge 0)\;;\;\ln(1+t)\le t$.)

b) En déduire que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g_n(x)=+\infty$.

3. a) Montrer que $g_n$ est une bijection de l'intervalle $[n;+\infty[$ dans l'intervalle $[0;+\infty[$.

b) En déduire que : $(\forall n\ge 2)\;(\exists!\,u_n\ge n)\;:\;\displaystyle\int_n^{u_n}\dfrac{1}{\ln(t)}\,dt=1$.

4. On considère la suite numérique $(u_n)_{n\ge 2}$ définie dans la question 3-b).

a) Montrer que : $(\forall n\ge 2)\;;\;\displaystyle\int_{u_n}^{u_{n+1}}\dfrac{1}{\ln(t)}\,dt=\displaystyle\int_n^{n+1}\dfrac{1}{\ln(t)}\,dt$.

b) En déduire que la suite $(u_n)_{n\ge 2}$ est strictement croissante.

c) Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$.