Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2017 (Normale)

Exercice 1 (Structures algébriques)

On rappelle que $(M_3(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire dont le zéro est la matrice nulle $O=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ et dont l'unité est la matrice $I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, et que $(\mathbb{C},+,\times)$ est un corps commutatif.

On pose $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}$ et pour tout couple $(a,b)$ de $\mathbb{R}^2$ : $M(a,b)=\begin{pmatrix}a&b&-b\\0&0&0\\b&-a&a\end{pmatrix}$.

On considère l'ensemble $E=\{M(a,b)\,/\,(a,b)\in\mathbb{R}^2\}$.

1. Montrer que $E$ est un sous-groupe de $(M_3(\mathbb{R}),+)$.

2. On définit sur $M_3(\mathbb{R})$ la loi de composition interne $T$ par : $(\forall(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4)\quad M(a,b)\,T\,M(c,d)=M(a,b)\times A\times M(c,d)$.
Vérifier que $E$ est une partie stable de $(M_3(\mathbb{R}),T)$.

3. On considère l'application $\varphi$ de $\mathbb{C}^*$ vers $E$ qui à tout nombre complexe non nul $a+ib$ (où $(a,b)\in\mathbb{R}^2$) fait correspondre la matrice $M(a,b)$ de $E$.

a) Vérifier que $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{C}^*,\times)$ vers $(E,T)$ et que $\varphi(\mathbb{C}^*)=E^*$ où $E^*=E-M(0,0)$.

b) En déduire que $(E^*,T)$ est un groupe commutatif dont on déterminera l'élément neutre $J$.

4. Montrer que la loi $T$ est distributive par rapport à la loi $+$ dans $E$.

5. En déduire que $(E,+,T)$ est un corps commutatif.

Exercice 2 (Nombres complexes)

Soit $m$ un complexe non nul.

Première partie : On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E):\ 2z^2-2(m+1+i)z+m^2+(1+i)m+i=0$.

1. Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta=(2im)^2$.

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$.

Deuxième partie : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$.
On suppose que $m\in\mathbb{C}-\{0,1,i\}$ et on pose : $z_1=\dfrac{1+i}{2}(m+1)$ et $z_2=\dfrac{1-i}{2}(m+i)$.
On considère les points $A$, $B$, $M$, $M_1$ et $M_2$ d'affixes respectives $1$, $i$, $m$, $z_1$ et $z_2$.

1.a) Vérifier que $z_1=iz_2+1$.

1.b) Montrer que $M_1$ est l'image de $M_2$ par la rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega=\dfrac{1+i}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

2.a) Vérifier que $\dfrac{z_2-m}{z_1-m}=i\,\dfrac{m-1}{m-i}$.

2.b) Montrer que si les points $M$, $M_1$ et $M_2$ sont alignés, alors le point $M$ appartient au cercle $(\Gamma)$ dont l'un des diamètres est le segment $[AB]$.

2.c) Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que les points $\Omega$, $M$, $M_1$ et $M_2$ sont cocycliques (remarquer que $\dfrac{z_1-\omega}{z_2-\omega}=i$).

Exercice 3 (Arithmétique)

On admet que le nombre $2017$ est premier et que $2016=2^5\cdot3^2\cdot7$.
Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $5$.

1. Soit le couple $(x,y)$ de $\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*$ tel que $px+y^{p-1}=2017$.

a) Vérifier que $p\lt 2017$.

b) Montrer que $p$ ne divise pas $y$.

c) Montrer que $y^{p-1}\equiv1\ [p]$ puis en déduire que $p$ divise $2016$.

d) Montrer que $p=7$.

2. Déterminer, suivant les valeurs de $p$, les couples $(x,y)$ de $\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*$ vérifiant $px+y^{p-1}=2017$.

Exercice 4 (Problème d'analyse)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par : $f(0)=0$ et $(\forall x\in\,]0;+\infty[)\ f(x)=\Big(1+\dfrac{1}{x}\Big)e^{-\frac{1}{x}}$, et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (on prendra $\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=2\,\text{cm}$).

Première partie :

1.a) Montrer que la fonction $f$ est continue à droite au point $0$.

1.b) Montrer que la fonction $f$ est dérivable à droite au point $0$.

1.c) Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ puis calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $]0;+\infty[$.

2.a) Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2.b) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.

3.a) Montrer que la courbe $(\mathcal{C})$ admet un point d'inflexion $I$ qu'on déterminera.

3.b) Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ (on prend $f(1)\simeq0,7$ et $4e^{-3}\simeq0,2$).

Deuxième partie : Soit la fonction $F$ définie sur $[0;+\infty[$ par : $F(x)=\displaystyle\int_x^1 f(t)\,dt$.

1. Montrer que la fonction $F$ est continue sur $[0;+\infty[$.

2.a) En utilisant une intégration par parties, montrer que : $(\forall x\in\,]0;+\infty[)\ \displaystyle\int_x^1 e^{-\frac{1}{t}}\,dt=e^{-1}-xe^{-\frac{1}{x}}-\int_x^1\dfrac{1}{t}e^{-\frac{1}{t}}\,dt$.

2.b) Déterminer $\displaystyle\int_x^1\Big(1+\dfrac{1}{t}\Big)e^{-\frac{1}{t}}\,dt$ pour tout $x$ de $]0;+\infty[$.

2.c) Montrer que $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=e^{-1}$.

3.a) Calculer en $\text{cm}^2$ l'aire du domaine délimité par la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations respectives $x=0$, $x=2$ et $y=0$.

4. Soit la suite $(u_n)_{n\geqslant0}$ définie par : $u_n=F(n)-F(n+2)$.

a) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que pour tout entier naturel $n$ il existe un nombre réel $v_n$ appartenant à l'intervalle $]n;n+2[$ tel que : $u_n=2\Big(1+\dfrac{1}{v_n}\Big)e^{-\frac{1}{v_n}}$.

4.b) Montrer que : $(\forall n\in\mathbb{N}^*)\ 2\Big(1+\dfrac{1}{n}\Big)e^{-\frac{1}{n}}\leqslant u_n\leqslant2\Big(1+\dfrac{1}{n+2}\Big)e^{-\frac{1}{n+2}}$.

4.c) Déduire $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n$.

Troisième partie :

1.a) Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, il existe un nombre réel strictement positif unique $a_n$ tel que : $f(a_n)=e^{-\frac{1}{n}}$.

1.b) Montrer que la suite $(a_n)_{n\geqslant1}$ est croissante.

1.c) Vérifier que : $(\forall n\in\mathbb{N}^*)\ -\dfrac{1}{a_n}+\ln\Big(1+\dfrac{1}{a_n}\Big)=-\dfrac{1}{n}$.

2.a) Montrer que : $(\forall t\in[0;+\infty[)\ 1-t\leqslant\dfrac{1}{1+t}\leqslant1-t+t^2$.

2.b) Montrer que : $(\forall x\in[0;+\infty[)\ -\dfrac{x^2}{2}\leqslant -x+\ln(1+x)\leqslant -\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}$.

3. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $4$.

3.a) Vérifier que : $a_4\geqslant1$, en déduire que $a_n\geqslant1$ (On admet que $e^{\frac{3}{4}}\geqslant2$).

3.b) Montrer que : $1-\dfrac{2}{3a_n}\leqslant\dfrac{2a_n^2}{n}\leqslant1$ (On pourra utiliser les questions $1$-$c$ et $2$-$b$ de la partie $3$).

3.c) Montrer que : $\sqrt{\dfrac{n}{6}}\leqslant a_n$ (On pourra utiliser les questions $3$-$a$ et $3$-$b$ de la partie $3$).
En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n$.

3.d) Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n\sqrt{\dfrac{2}{n}}$.