Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2017 (Rattrapage)

Exercice 1 — (4,5 points)

On rappelle que $(\mathbb{C},+,\times)$ est un corps commutatif, et que $(M_2(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire non commutatif et non intègre, d'unité $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

On pose : $J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ et, pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ :

$$M(x,y)=\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}=x\,I+y\,J.$$

On considère l'ensemble $E=\{\,M(x,y)\ /\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\,\}$.

1) Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel réel $(M_2(\mathbb{R}),+,\cdot)$, puis montrer que $(I,J)$ est une base de $E$ et que $\dim E=2$.

2) a) Montrer que $E$ est stable pour la multiplication $\times$ dans $M_2(\mathbb{R})$.

   b) Montrer que $(E,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire.

3) On pose $E^{*}=E\setminus\{M(0,0)\}$ et on considère l'application $\varphi$ de $\mathbb{C}^{*}$ vers $E^{*}$ définie par : $\quad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ \varphi(x+iy)=M(x,y)$.

   a) Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme de $(\mathbb{C}^{*},\times)$ vers $(E^{*},\times)$.

   b) En déduire que $(E^{*},\times)$ est un groupe commutatif.

   c) Montrer que $J^{2017}=\varphi\!\left(i^{\,2017}\right)$, puis déterminer l'inverse de la matrice $J^{2017}$ dans $(E^{*},\times)$.

4) Montrer que $(E,+,\times)$ est un corps commutatif.

Exercice 2 — (3 points)

Un sac contient $2n$ boules ($n\in\mathbb{N}^{*}$), dont $n$ boules blanches et $n$ boules noires. Toutes les boules sont indiscernables au toucher.

On tire au hasard une boule du sac et on note sa couleur, puis on la remet dans le sac, ensuite on tire au hasard une nouvelle boule du sac et on note aussi sa couleur.

La règle du jeu est la suivante :

• Si les deux boules tirées sont blanches, on gagne $20$ points ;
• Si les deux boules tirées sont noires, on perd $20$ points ;
• Si les deux boules tirées sont de couleurs différentes, le gain est nul.

1) Calculer la probabilité de gagner $20$ points, la probabilité de perdre $20$ points, et la probabilité d'un gain nul.

2) On répète ce jeu $5$ fois de suite (de façon indépendante).

   a) Calculer la probabilité de gagner $100$ points.

   b) Calculer la probabilité de gagner $80$ points.

3) Au cours d'un seul jeu, on considère la variable aléatoire $X$ qui prend la valeur $-20$ si on perd, la valeur $0$ si le gain est nul et la valeur $20$ si on gagne.

   a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

   b) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.

Exercice 3 — (2,5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$.

Soient $M$ le point d'affixe le nombre complexe non nul $z$ et $M'$ le point d'affixe $z'=\dfrac12\left(z+\dfrac1z\right)$.

1) Déterminer le nombre complexe $z$ pour que les deux points $M$ et $M'$ soient confondus.

2) On suppose que $M$ est distinct des points $A$ et $B$ d'affixes respectives $1$ et $-1$.

Montrer que : $\quad\dfrac{z'+1}{z'-1}=\left(\dfrac{z+1}{z-1}\right)^{2}.$

3) Soit $(\Delta)$ la médiatrice du segment $[AB]$.
Montrer que : si $M$ appartient à $(\Delta)$ alors $M'$ appartient à $(\Delta)$.

4) Soit $(\Gamma)$ le cercle dont un diamètre est $[AB]$.
Montrer que si $M$ appartient à $(\Gamma)$ alors $M'$ appartient à la droite $(AB)$.

Problème — (10 points)

Partie A

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $I=[0;+\infty[$ par :

$$\begin{cases}f(x)=\dfrac{\arctan(x)}{x} & ;\ x\in\,]0;+\infty[\\ f(0)=1\end{cases}$$

1) Montrer que $f$ est continue sur l'intervalle $I$.

2) a) Soit $x$ dans $I$.
Montrer que : $\ \forall t\in[0;x],\quad \dfrac{1}{1+x^2}\le \dfrac{1}{1+t^2}\le 1.$

   b) Montrer que : $\ \forall x\in I,\quad \dfrac{x}{1+x^2}\le \arctan(x)\le x.$

   c) Montrer que $f$ est dérivable à droite en $0$.

3) a) Sachant que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$, calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $]0;+\infty[$.

   b) Étudier les variations de $f$ sur $I$.

Partie B

Soit $g$ la fonction numérique définie sur $I=[0;+\infty[$ par :

$$\begin{cases}g(x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt & ;\ x\in\,]0;+\infty[\\ g(0)=1\end{cases}$$

1) a) Montrer que : $\ \forall x\in\,]0;+\infty[,\quad f(x)\le g(x)\le 1.$

   b) Montrer que $g$ est dérivable à droite en $0$.

2) Montrer que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$ et que : $\ \forall x\in\,]0;+\infty[,\quad g'(x)=\dfrac{1}{x}\big(f(x)-g(x)\big).$

3) Montrer que $g$ est décroissante sur l'intervalle $I$.

4) a) Montrer que : $\ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\int_{0}^{x}f(t)\,dt=0$ ?  (Remarque : $\forall x\in\,]0;+\infty[,\ 0\lt \arctan(x)\lt \tfrac{\pi}{2}$.)

   b) Calculer $\ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x).$

Partie C

1) Montrer que l'équation $g(x)=x$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]0;1[$.

2) a) Vérifier que : $\ \forall x\in\,]0;+\infty[,\quad 0\le 1-f(x)\le \dfrac{x^2}{1+x^2}.$  (on pourra utiliser la question 2-b) de la partie A)

   b) Montrer que : $\ \forall x\in\,]0;+\infty[,\quad \left|g'(x)\right|\le \dfrac12.$

3) Soit $(u_n)_{n\ge 0}$ la suite numérique définie par : $\ \begin{cases}u_0\in\mathbb{R}^{+}\\ u_{n+1}=g(u_n)\end{cases}\ $ pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$.

   a) Montrer que : $\ \forall n\in\mathbb{N},\quad \left|u_{n+1}-\alpha\right|\le \dfrac12\left|u_n-\alpha\right|.$

   b) Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente.