Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2018 (Normale)

Exercice 1 — Structures algébriques (4 pts)

On rappelle que $(\mathbb{C},+,\times)$ est un corps commutatif et que $(M_2(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire dont le zéro est la matrice nulle $O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ et dont l'unité est la matrice $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ ; et que $(M_2(\mathbb{R}),+,\cdot)$ est un espace vectoriel réel.

Pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, on pose $M(x,y)=\begin{pmatrix}x&-2y\\y&x+2y\end{pmatrix}$, et on considère l'ensemble $E=\{M(x,y)\,/\,(x,y)\in\mathbb{R}^2\}$.

1. Montrer que $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb{R}),+)$.

2.a) Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel $(M_2(\mathbb{R}),+,\cdot)$.

2.b) On pose $J=M(0,1)$.
Montrer que $(I,J)$ est une base de l'espace vectoriel $(E,+,\cdot)$.

3.a) Montrer que $E$ est une partie stable de $(M_2(\mathbb{R}),\times)$.

3.b) Montrer que $(E,+,\times)$ est un anneau commutatif.

4. Soit $\varphi$ l'application définie de $\mathbb{C}^*$ vers $M_2(\mathbb{R})$ par : $(\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2-\{(0,0)\})\ ;\ \varphi(x+iy)=M(x+y,-y)=\begin{pmatrix}x+y&2y\\-y&x-y\end{pmatrix}$.

4.a) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{C}^*,\times)$ vers $(M_2(\mathbb{R}),\times)$.

4.b) On pose $E^*=E-\{O\}$.
Montrer que $\varphi(\mathbb{C}^*)=E^*$.

4.c) En déduire que $(E^*,\times)$ est un groupe commutatif.

5. Montrer que $(E,+,\times)$ est un corps commutatif.

Exercice 2 — Arithmétique (3 pts)

Soit $p$ un nombre premier tel que $p=3+4k$ avec $k\in\mathbb{N}^*$.

1. Montrer que pour tout entier relatif $x$, si $x^2\equiv 1\,[p]$ alors $x^{p-5}\equiv 1\,[p]$.

2. Soit $x$ un entier relatif vérifiant $x^{p-5}\equiv 1\,[p]$.

2.a) Montrer que $x$ et $p$ sont premiers entre eux.

2.b) Montrer que $x^{p-1}\equiv 1\,[p]$.

2.c) Vérifier que $2+(k-1)(p-1)=k(p-5)$.

2.d) En déduire que $x^2\equiv 1\,[p]$.

3. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $x^{62}\equiv 1\,[67]$.

Exercice 3 — Nombres complexes et géométrie (3 pts)

Soit $m$ un nombre complexe.

I. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E_m):\ z^2+(im+2)z+im+2-m=0$.

I.1.a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E_m)$ est $\Delta=(im-2i)^2$.

I.1.b) Donner, suivant les valeurs de $m$, l'ensemble des solutions de $(E_m)$.

I.2. Pour $m=i\sqrt{2}$, écrire les deux solutions de $(E_m)$ sous la forme exponentielle.

II. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
On considère les points $A$, $\Omega$, $M$ et $M'$ d'affixes respectives $a=-1-i$, $\omega=i$, $m$ et $m'=-im-1+i$.

II.1. Soit $R$ la rotation d'angle $\dfrac{-\pi}{2}$ qui transforme $M$ en $M'$.

II.1.a) Vérifier que $\Omega$ est le centre de la rotation $R$.

II.1.b) Déterminer l'affixe $b$ du point $B$ tel que $A=R(B)$.

II.2.a) Vérifier que $m'-a=\dfrac{\omega-a}{\omega-b}(m-b)$.

II.2.b) En déduire que les points $A$, $M$ et $M'$ sont alignés si et seulement si les points $A$, $B$, $\Omega$ et $M$ sont cocycliques.

II.2.c) Montrer que l'ensemble des points $M$ tels que les points $A$, $M$ et $M'$ soient alignés est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

Exercice 4 — Analyse (8 pts)

Partie I

1.a) Montrer que $(\forall x\in\,]0;+\infty[)\ ;\ \displaystyle\int_0^x \frac{t}{1+t}\,dt=x-\ln(1+x).$

1.b) En utilisant le changement de variable $u=t^2$, montrer que $(\forall x\in\,]0;+\infty[)\ ;\ \displaystyle\int_0^x \frac{t}{1+t}\,dt=\frac12\int_0^{x^2}\frac{1}{1+\sqrt{u}}\,du.$

1.c) En déduire que $(\forall x\in\,]0;+\infty[)\ ;\ \dfrac{1}{2(1+x)}\le \dfrac{x-\ln(x+1)}{x^2}\le \dfrac12.$

1.d) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{x-\ln(x+1)}{x^2}.$

Partie II

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par : $\begin{cases}f(x)=\left(\dfrac{x+1}{x}\right)\ln(1+x)\ ;\ x\neq 0\\ f(0)=1\end{cases}$ et soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1.a) Montrer que $f$ est continue à droite en $0$.

1.b) Montrer que $f$ est dérivable à droite en $0$ (on pourra utiliser le résultat de la question I.2., c'est-à-dire I.1.d).

1.c) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2.a) Montrer que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$, puis vérifier que $(\forall x\in\,]0;+\infty[)\ :\ f'(x)=\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2}.$

2.b) En déduire que $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

2.c) Vérifier que $f([0;+\infty[)=[1;+\infty[$.

3. Représenter graphiquement la courbe $(\mathcal{C})$ (on construira la demi-tangente à droite au point d'abscisse $0$).

Partie III

1. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $g(x)=f(x)-x$.

1.a) Montrer que $(\forall x\in\,]0;+\infty[)\ :\ 0\lt f'(x)\le\dfrac12.$

1.b) En déduire que $g$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ et que $g(]0;+\infty[)=\,]-\infty;1[$.

1.c) Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet une solution unique $\alpha\in\,]0;+\infty[$.

2. Soit $a$ un réel de l'intervalle $]0;+\infty[$.
On considère la suite $(u_n)_{n\ge 0}$ définie par : $u_0=a$ et $(\forall n\in\mathbb{N})\ :\ u_{n+1}=f(u_n)$.

2.a) Montrer que $(\forall n\in\mathbb{N})\ \ u_n\gt 0$.

2.b) Montrer que $(\forall n\in\mathbb{N})\ \ |u_{n+1}-\alpha|\le\dfrac12|u_n-\alpha|$.

2.c) Montrer par récurrence que $(\forall n\in\mathbb{N})\ \ |u_n-\alpha|\le\left(\dfrac12\right)^n|a-\alpha|$.

2.d) En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers $\alpha$.

Exercice 5 — Calcul intégral (2 pts)

On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x)=\displaystyle\int_0^x e^{t^2}\,dt$.

1. Montrer que $F$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

2.a) Montrer que $(\forall x\in\,]0;+\infty[)\ :\ F(x)\ge x$, puis en déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)$.

2.b) Montrer que $F$ est impaire, puis en déduire $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}F(x)$.

2.c) Montrer que $F$ est une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

2.d) Montrer que la bijection réciproque $G$ de la fonction $F$ est dérivable en $0$, puis calculer $G'(0)$.