Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2018 (Rattrapage)
Sujet officiel de l'examen national de mathématiques, 2ème Bac Sciences Maths (A & B), session de rattrapage 2018. Énoncé + corrigé détaillé.
Exercice 1 (Structures algébriques)
On rappelle que $(M_2(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire de zéro la matrice nulle $\theta=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et d'unité la matrice $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, et que $(M_2(\mathbb{R}),+,\cdot)$ est un espace vectoriel réel de dimension $4$.
Pour tout couple $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, on pose $M(x,y)=\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & x \end{pmatrix}$.
On considère l'ensemble $E=\{M(x,y)\,/\,(x,y)\in\mathbb{R}^2\}$.
1) Montrer que $E$ est un sous-groupe du groupe $(M_2(\mathbb{R}),+)$.
2) a) Montrer que $E$ est un sous-espace de l'espace vectoriel $(M_2(\mathbb{R}),+,\cdot)$.
b) Montrer que l'espace vectoriel réel $(E,+,\cdot)$ est de dimension $2$.
3) a) Montrer que $E$ est une partie stable pour la loi $\times$.
b) Montrer que $(E,+,\times)$ est un anneau commutatif.
4) On définit dans $M_2(\mathbb{R})$ la loi de composition interne $T$ par : pour tout $M(x,y)\in M_2(\mathbb{R})$ et tout $M(x',y')\in M_2(\mathbb{R})$,
$M(x,y)\,T\,M(x',y') = M(x,y)\times M(x',y') - M(y,0)\times M(y',0)$.
Soit $\varphi$ l'application de $\mathbb{C}^*$ vers $E$ définie par $\varphi(x+iy)=M(x,y)$.
a) Montrer que $E$ est une partie stable pour la loi $T$.
b) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{C}^*,\times)$ vers $(E,T)$.
c) On pose $E^*=E-\{\theta\}$.
Montrer que $(E^*,T)$ est un groupe commutatif.
5) a) Montrer que la loi $T$ est distributive par rapport à la loi $+$ dans $E$.
b) Montrer que $(E,+,T)$ est un corps commutatif.
Exercice 2 (Nombres complexes)
1) Pour tout nombre complexe $z\in\mathbb{C}-\{i\}$ on pose : $h(z)=i\left(\dfrac{z-2i}{z-i}\right)$.
a) Vérifier que : $h(z)=z \Leftrightarrow z^2-2iz-2=0$.
b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E):\;z^2-2iz-2=0$.
2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$.
On note $a$ et $b$ les deux solutions de l'équation $(E)$ telles que $\operatorname{Re}(a)=1$. Pour tout $z\in\mathbb{C}-\{i,a,b\}$ on considère les points $M(z)$, $M'(h(z))$, $A(a)$ et $B(b)$.
a) Montrer que : $\dfrac{h(z)-a}{h(z)-b}=-\left(\dfrac{z-a}{z-b}\right)$.
b) En déduire que $\left(\overrightarrow{M'B},\overrightarrow{M'A}\right)\equiv \pi+\left(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}\right)\;[2\pi]$.
3) a) Montrer que si $M$, $A$ et $B$ sont alignés alors $M$, $A$, $B$ et $M'$ sont alignés.
b) Montrer que si $M$, $A$ et $B$ ne sont pas alignés alors $M$, $A$, $B$ et $M'$ sont cocycliques.
Exercice 3 (Probabilités)
On lance $10$ fois de suite une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale à la fréquence d'apparition de la face « pile » (c'est-à-dire le nombre de fois d'apparition de la face « pile » divisé par $10$).
1) a) Déterminer les valeurs prises par $X$.
b) Déterminer la probabilité de l'événement $\left[X=\dfrac{1}{2}\right]$.
2) Quelle est la probabilité de l'événement « $X$ supérieur ou égale à $\dfrac{9}{10}$ » ?
Problème (Analyse)
Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par : $\begin{cases} f(x)=\sqrt{x}(\ln x)^2,\;\; x\gt 0 \\ f(0)=0 \end{cases}$.
On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
1) a) Montrer que $f$ est continue à droite en $0$. (On pourra remarquer que : $f(x)=\left(4x^{\frac14}\ln\left(x^{\frac14}\right)\right)^2$.)
b) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) a) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b) Montrer que $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ puis calculer $f'(x)$ pour $x\gt 0$.
c) Étudier les variations de $f$ sur $[0,+\infty[$, en déduire que : $(\forall x\in[0,1]);\; 0\leq \sqrt{x}(\ln x)^2\leq \left(\dfrac{4}{e}\right)^2$.
d) Tracer la courbe $(C)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$. (On prendra pour unité $\lVert\vec{i}\rVert=\lVert\vec{j}\rVert=2$ cm.)
3) Pour tout réel $x\geq 0$, on pose $F(x)=\displaystyle\int_x^1 f(t)\,dt$.
a) Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur l'intervalle $[0,+\infty[$.
b) Calculer $F'(x)$ pour $x\gt 0$, en déduire le sens de variation de $F$ sur l'intervalle $[0,+\infty[$.
4) a) En utilisant la méthode d'intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_x^1 \sqrt{t}(\ln t)\,dt$ pour tout $x\gt 0$.
b) Montrer que pour tout $x\gt 0$ : $F(x)=-\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}(\ln x)^2+\dfrac{8}{9}x\sqrt{x}\ln x-\dfrac{16}{27}x\sqrt{x}+\dfrac{16}{27}$.
c) En déduire en $\text{cm}^2$ l'aire du domaine limité par la courbe $(C)$ et les droites d'équations respectives $x=0$, $x=1$ et $y=0$.
5) Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $u_n=\displaystyle\int_{\frac{1}{n}}^{1} f(x)\,dx$.
a) Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est bornée et strictement monotone.
b) Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est convergente puis calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$.