Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2019 (Normale)
Sujet officiel de l'examen national de mathématiques, 2ème Bac Sciences Maths (A & B), session normale 2019. Énoncé + corrigé détaillé.
Exercice 1 (3,5 points)
On rappelle que $(\mathbb{C},+,\times)$ est un corps commutatif et que $(M_2(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire de zéro la matrice nulle $O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ et d'unité la matrice $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
Soit $*$ la loi de composition interne définie sur $\mathbb{C}$ par :
$(\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2)\,(\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2)\ :\ (x+yi)*(a+bi)=xa+(x^2b+a^2y)i$
1)
a) Montrer que la loi $*$ est commutative sur $\mathbb{C}$.
b) Montrer que la loi $*$ est associative sur $\mathbb{C}$.
c) Montrer que la loi $*$ admet un élément neutre $e$ que l'on déterminera.
d) Soit $(x,y)\in\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}$.
Montrer que le nombre complexe $x+yi$ admet le nombre complexe $\dfrac{1}{x}-\dfrac{y}{x^4}i$ comme symétrique pour la loi $*$.
2) On considère le sous-ensemble $E$ de $\mathbb{C}$ défini par : $E=\{x+yi\,/\,x\in\mathbb{R}^*_+\,;\,y\in\mathbb{R}\}$.
a) Montrer que $E$ est stable pour la loi $*$ dans $\mathbb{C}$.
b) Montrer que $(E,*)$ est un groupe commutatif.
3) On considère le sous-ensemble $G$ de $E$ défini par : $G=\{1+yi\,/\,y\in\mathbb{R}\}$.
Montrer que $G$ est un sous-groupe de $(E,*)$.
4) On considère l'ensemble $F=\left\{M(x,y)=\begin{pmatrix}x&y\\0&x\end{pmatrix}\,/\,(x,y)\in\mathbb{R}^*_+\times\mathbb{R}\right\}$.
a) Montrer que $F$ est stable pour la loi $\times$ dans $M_2(\mathbb{R})$.
b) On considère l'application $\varphi : E\longrightarrow F$, $x+yi\longmapsto M(x^2,y)$.
Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme de $(E,*)$ vers $(F,\times)$.
c) En déduire que $(F,\times)$ est un groupe commutatif.
Exercice 2 (3,5 points)
Soit $m$ un nombre complexe non réel ($m\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$).
I) On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation, d'inconnue $z$ définie par :
$(E):\ z^2-(1+i)(1+m)z+2im=0$
1) a) Montrer que le discriminant de l'équation $(E)$ est non nul.
b) Déterminer $z_1$ et $z_2$, les deux solutions de l'équation $(E)$.
2) On suppose dans cette question que $m=e^{i\theta}$ avec $0\lt\theta\lt\pi$.
a) Déterminer le module et un argument de $z_1+z_2$.
b) Montrer que si $z_1z_2\in\mathbb{R}$ alors $z_1+z_2=2i$.
II) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
On considère les points suivants :
$A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=1+i$, $b=(1+i)m$ et $c=1-i$.
$D$ l'image de $B$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $\Omega$ le milieu du segment $[CD]$.
1) a) Montrer que l'affixe de $\Omega$ est $\omega=\dfrac{(1-i)(1-m)}{2}$.
b) Calculer $\dfrac{b-a}{\omega}$.
c) En déduire que $(O\Omega)\perp (AB)$ et que $AB=2O\Omega$.
2) La droite $(O\Omega)$ coupe la droite $(AB)$ au point $H$ d'affixe $h$.
a) Montrer que $\dfrac{h-a}{b-a}$ est réel et que $\dfrac{h}{b-a}$ est imaginaire pur.
b) En déduire $h$ en fonction de $m$.
Exercice 3 (3 points)
On admet que $2969$ (l'année amazighe actuelle) est un nombre premier.
Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels vérifiant : $n^8+m^8\equiv 0\ [2969]$.
1) On suppose dans cette question que $2969$ ne divise pas $n$.
a) En utilisant le théorème de BÉZOUT, montrer que : $(\exists u\in\mathbb{Z}):u\times n\equiv 1\ [2969]$.
b) En déduire que : $(u\times m)^8\equiv -1\ [2969]$ et que $(u\times m)^{2968}\equiv -1\ [2969]$. (On remarque que $2968=8\times 371$.)
c) Montrer que $2969$ ne divise pas $u\times m$.
d) En déduire qu'on a aussi $(u\times m)^{2968}\equiv 1\ [2969]$.
2) a) En utilisant les résultats précédents, montrer que $2969$ divise $n$.
b) Montrer que : $n^8+m^8\equiv 0\ [2969]\Longleftrightarrow n\equiv 0\ [2969]$ et $m\equiv 0\ [2969]$.
Exercice 4 — Problème (10 points)
PARTIE I. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=4x\left(e^{-x}+\dfrac{1}{2}x-1\right)$ et on note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
1) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
2) a) Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $(\forall x\in\mathbb{R}):\ f'(x)=4(e^{-x}-1)(1-x)$.
b) Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$, puis donner son tableau de variations.
c) Montrer que $\exists!\,\alpha\in\left]\dfrac{3}{2};2\right[$ tel que $f(\alpha)=0$. (On prendra $e^{3/2}=4.5$.)
d) Vérifier que : $e^{-\alpha}=1-\dfrac{\alpha}{2}$.
3) a) En appliquant le théorème de ROLLE à la fonction $f'$, montrer qu'il existe $x_0$ de l'intervalle $]0;1[$ tel que : $f''(x_0)=0$.
b) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $f''$, montrer que pour tout $x$ différent de $x_0$ de l'intervalle $[0;1]$, on a : $\dfrac{f''(x)}{x-x_0}\gt 0$.
c) En déduire que $I(x_0,f(x_0))$ est un point d'inflexion de la courbe $(\mathcal{C})$.
4) a) Étudier les branches infinies de la courbe $(\mathcal{C})$.
b) Représenter graphiquement la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$. (On prendra $\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1\,cm$, $f(1)=-0,5$ et il n'est pas demandé de représenter le point $I$.)
5) a) Vérifier que $(\forall x\in\,]-\infty;\alpha]):f(x)\le 0$.
b) Montrer que $\displaystyle\int_0^{\alpha}f(x)\,dx=\dfrac{2\alpha(\alpha^2-3)}{3}$, puis en déduire que $\dfrac{3}{2}\lt\alpha\le\sqrt{3}$.
c) Calculer en fonction de $\alpha$, en $cm^2$, l'aire du domaine du plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations respectives $y=0$, $x=0$ et $x=\alpha$.
PARTIE II. On considère la suite numérique $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $u_0\lt\alpha$ et $(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}=u_n+f(u_n)$.
1) a) Montrer par récurrence que $(\forall n\in\mathbb{N})\ u_n\lt\alpha$ (utiliser 5-a de la PARTIE I).
b) En déduire que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.
2) On suppose que $0\le u_0$ et on pose $(\forall x\in\mathbb{R}):\ g(x)=e^{-x}+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{4}$.
a) Montrer que $(\forall x\in\mathbb{R}):g(x)\gt 0$. (On prendra $\ln 2=0,69$.)
b) En utilisant le résultat de la question précédente, montrer que $(\forall n\in\mathbb{N})\ 0\le u_n$. (On remarque que $f(x)+x=4x\,g(x)$.)
c) Montrer que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente.
d) Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$.
3) On suppose que $u_0\lt 0$.
a) Montrer que $(\forall n\in\mathbb{N}):u_{n+1}-u_n\le f(u_0)$.
b) Montrer que $(\forall n\in\mathbb{N}):u_n\le u_0+n\,f(u_0)$.
c) En déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$.