Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2019 (Rattrapage)
Sujet officiel de l'examen national de mathématiques, 2ème Bac Sciences Maths (A & B), session de rattrapage 2019. Énoncé + corrigé détaillé.
Soit $\alpha$ un nombre complexe non nul.
Partie A :
On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ :
$(E_\alpha):\ z^2-i\alpha\sqrt{3}\,z-\alpha^2=0$
1) a) Vérifier que le discriminant de $(E_\alpha)$ est : $\Delta=\alpha^2$.
b) Résoudre l'équation $(E_\alpha)$.
2) Sachant que $\alpha=|\alpha|\,e^{i\lambda}$ (avec $\lambda\in\mathbb{R}$), mettre les deux racines de l'équation $(E_\alpha)$ sous la forme exponentielle.
Partie B :
On suppose que le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$.
On considère les points $\Omega$, $M_1$ et $M_2$ d'affixes respectivement $\alpha$, $z_1=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\,\alpha$ et $z_2=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\,\alpha$, et soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
1) a) Montrer que $R(\Omega)=M_1$ et que $R(M_1)=M_2$.
b) En déduire que les deux triangles $O\Omega M_1$ et $OM_1M_2$ sont équilatéraux.
2) a) Vérifier que : $z_1-z_2=\alpha$.
b) Montrer que les deux droites $(\Omega M_2)$ et $(OM_1)$ sont orthogonales.
c) En déduire que $O\Omega M_1 M_2$ est un losange.
3) Montrer que pour tout réel $\theta$, le nombre $Z=\dfrac{z_2-\alpha}{z_1-\alpha}\div\dfrac{z_2-|\alpha|\,e^{i\theta}}{z_1-|\alpha|\,e^{i\theta}}$ est un réel.
Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ ($n\in\mathbb{N}^*$, $n\geq 3$).
On retire, sans remise, l'une après l'autre toutes les boules de cette urne. Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
1) Quelle est la probabilité que les boules $1$, $2$ et $3$ sortent consécutivement et dans cet ordre ?
2) Calculer la probabilité que les boules $1$, $2$ et $3$ sortent dans cet ordre (consécutivement ou pas) ?
3) On considère la variable aléatoire $X_n$ égale au nombre de tirages nécessaire pour obtenir les boules $1$, $2$ et $3$.
Déterminer la loi de probabilité de $X_n$.
On considère l'espace vectoriel de dimension $2$ noté $(V_2,+,\cdot)$.
Soit $(\vec{i},\vec{j})$ une base de $V_2$.
On pose : $\overrightarrow{e_1}=\dfrac{1}{2}\vec{i}+\dfrac{1}{2}\vec{j}$ et $\overrightarrow{e_2}=\dfrac{1}{2}\vec{i}-\dfrac{1}{2}\vec{j}$.
Soit $*$ la loi de composition interne définie par : pour tout $(x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4$,
$\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right)*\left(x'\vec{i}+y'\vec{j}\right)=(xx'+yy')\vec{i}+(xy'+yx')\vec{j}.$
1) a) Montrer que $\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\right)$ est une base de $V_2$.
b) Vérifier que : $\overrightarrow{e_1}*\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_1}$ ; $\overrightarrow{e_2}*\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_2}$ et $\overrightarrow{e_1}*\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_2}*\overrightarrow{e_1}=\vec{0}$.
c) Montrer que : pour tout $(X,X',Y,Y')\in\mathbb{R}^4$, $\left(X\overrightarrow{e_1}+Y\overrightarrow{e_2}\right)*\left(X'\overrightarrow{e_1}+Y'\overrightarrow{e_2}\right)=XX'\overrightarrow{e_1}+YY'\overrightarrow{e_2}.$
2) a) Montrer que la loi $*$ est commutative.
b) Montrer que la loi $*$ est associative.
c) Montrer que la loi $*$ admet un élément neutre.
d) Montrer que $(V_2,+,*)$ est un anneau commutatif unitaire.
3) Soit $\vec{u}\in V_2-\{\vec{0}\}$.
On note $E_{\vec{u}}=\{\lambda\vec{u}\,/\,\lambda\in\mathbb{R}\}$.
a) Montrer que $(E_{\vec{u}},+)$ est un sous-groupe du groupe $(V_2,+)$.
b) Montrer que $(E_{\vec{u}},+,\cdot)$ est un sous-espace vectoriel de l'espace $(V_2,+,\cdot)$.
c) Montrer que : $E_{\vec{u}}$ stable pour $*$ $\iff$ la famille $(\vec{u}*\vec{u},\vec{u})$ est liée.
4) On suppose que $(\exists a\in\mathbb{R}^*)$ : $\vec{u}*\vec{u}=a\vec{u}$.
On considère l'application $\varphi:\ \mathbb{R}^*\to E_{\vec{u}}$, $x\mapsto \dfrac{x}{a}\vec{u}.$
a) Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R}^*,\times)$ vers $(E_{\vec{u}},*)$.
b) En déduire que $(E_{\vec{u}},+,*)$ est un corps commutatif.
Partie A :
On considère la fonction $g$ définie sur $I=\,]-1;+\infty[$ par : $g(x)=1+x^2-2x(1+x)\ln(1+x)$.
1) a) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to-1^+}g(x)=2$.
b) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$.
2) Montrer que $g$ est dérivable sur $I$ et que $(\forall x\in I)\ ;\ g'(x)=-2(1+2x)\ln(1+x)$.
3) On donne le tableau de variations de $g$ : sur $\left]-1;-\tfrac12\right]$, $g'\lt 0$ (décroissante de $2$ à $g(-\tfrac12)=\tfrac54-\tfrac{\ln2}{2}$) ; sur $\left[-\tfrac12;0\right]$, $g'\gt 0$ (croissante jusqu'à $g(0)=1$) ; sur $[0;+\infty[$, $g'\lt 0$ (décroissante de $1$ vers $-\infty$).
a) Montrer qu'il existe un réel strictement positif $\alpha$ unique tel que $g(\alpha)=0$.
b) Vérifier que $0\lt\alpha\lt1$ (on prendra $\ln2=0,7$).
c) En déduire que : $(\forall x\in\,]-1;\alpha])\ 0\lt g(x)$ et $(\forall x\in[\alpha;+\infty[)\ g(x)\lt 0$.
Partie B :
On considère la fonction $f$ définie sur $I=\,]-1;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}$.
Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)$.
1) a) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-1^+}f(x)$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) a) Montrer que $f$ est dérivable sur $I$ et que $(\forall x\in I)\ ;\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{(1+x)(1+x^2)^2}$.
b) Donner le sens de variation de $f$ sur $I$.
c) Vérifier que $f(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha(1+\alpha)}$ et que $(\forall x\in I)\ f(x)\leq\dfrac{1}{2\alpha(1+\alpha)}$.
3) a) Donner l'équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d'abscisse $0$.
b) Montrer que $(\forall x\gt 0)\ ;\ \ln(1+x)\lt x$.
c) En déduire que $(\forall x\gt 0)\ ;\ f(x)\lt x$.
d) Représenter graphiquement $(T)$ et $(C)$ (on prendra $\alpha=0,8$ et $\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=2\,\mathrm{cm}$).
Partie C :
On pose : $J=\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$.
1) a) En utilisant le changement de variable $t=\dfrac{1-x}{1+x}$, montrer que $J=\dfrac{\pi}{8}\ln2$.
b) Déterminer, en $\mathrm{cm}^2$, l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$, la tangente $(T)$, la droite d'équation $x=0$ et la droite d'équation $x=1$.
2) En utilisant la méthode d'intégration par parties, calculer : $K=\displaystyle\int_0^1\dfrac{\arctan(x)}{1+x}\,\mathrm{d}x$.