Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2020 (Normale)

Exercice 1 (au choix avec l'Exercice 2). Si tu choisis de traiter l'Exercice 1, il ne faut pas traiter l'Exercice 2.

On considère dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(D)\,:\ 7x^{3}-13y=5$.

1. Soit $(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ une solution de l'équation $(D)$.

  a) Montrer que $x$ et $13$ sont premiers entre eux.

  b) En déduire que $x^{12}\equiv 1\ [13]$.

  c) Montrer que $x^{3}\equiv 10\ [13]$.

  d) En déduire que $x^{12}\equiv 3\ [13]$.

2. Déduire des questions précédentes que l'équation $(D)$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.

Exercice 2 (au choix avec l'Exercice 1). Si tu choisis de traiter l'Exercice 2, il ne faut pas traiter l'Exercice 1.

On note par $M_{2}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre deux.
On rappelle que $(M_{2}(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau non commutatif unitaire d'unité $I=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ et que $(\mathbb{R}^{*},\times)$ est un groupe commutatif.

On considère le sous-ensemble $E$ de $M_{2}(\mathbb{R})$ défini par : $E=\left\{\begin{pmatrix}1 & x\\ 0 & y\end{pmatrix}\,/\,x\in\mathbb{R}\ \text{et}\ y\in\mathbb{R}^{*}\right\}$.

1.a) Montrer que $E$ est une partie stable de $(M_{2}(\mathbb{R}),\times)$.

  b) Montrer que la multiplication n'est pas commutative dans $E$.

  c) Vérifier que : $(\forall x\in\mathbb{R})\ (\forall y\in\mathbb{R}^{*})\ \begin{pmatrix}1 & x\\ 0 & y\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1 & -\frac{x}{y}\\ 0 & \frac{1}{y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -\frac{x}{y}\\ 0 & \frac{1}{y}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1 & x\\ 0 & y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$.

2. Montrer que $(E,\times)$ est un groupe non commutatif.

3. On considère le sous-ensemble $F$ de $E$ défini par : $F=\left\{M(x)=\begin{pmatrix}x & x-1\\ 0 & x\end{pmatrix}\,/\,x\in\mathbb{R}^{*}\right\}$.

  a) Montrer que l'application $\varphi$ définie par : $(\forall x\in\mathbb{R}^{*})\ \varphi(x)=M(x)$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R}^{*},\times)$ vers $(E,\times)$.

  b) En déduire que $(F,\times)$ est un groupe commutatif dont on précisera l'élément neutre.

Exercice 3 (obligatoire). Soit $m$ un nombre complexe non nul.

Première partie :

On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $\ (E)\,:\ z^{3}-2mz^{2}+2m^{2}z-m^{3}=0$.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ (on remarque que $m$ est solution de l'équation $(E)$).

2. On note $z_{1}$ et $z_{2}$ les deux autres solutions de l'équation $(E)$ autre que $m$.

  a) Vérifier que $\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{2}}=\dfrac{1}{m}$.

  b) Dans le cas où $m=1+e^{i\frac{\pi}{3}}$, écrire sous la forme algébrique $z_{1}$ et $z_{2}$.

Deuxième partie :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a=me^{i\frac{\pi}{3}}$ et $b=me^{-i\frac{\pi}{3}}$.

On note : $P$ le centre de la rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ qui transforme $O$ en $A$ ; $Q$ le centre de la rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ qui transforme $A$ en $B$ ; $R$ le centre de la rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ qui transforme $B$ en $O$.

1. Montrer que les points $O,A$ et $B$ ne sont pas alignés.

2.a) Montrer que l'affixe de $P$ est $p=m\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{7\pi}{12}}$ et que l'affixe de $R$ est $r=m\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-i\frac{7\pi}{12}}$.

  b) Montrer que l'affixe de $Q$ est $q=m\sqrt{2}\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$.

3. Montrer que $OQ=PR$ et que les deux droites $(OQ)$ et $(PR)$ sont perpendiculaires.

Problème (obligatoire).

Première partie :

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=[0;+\infty[$ par : $f(0)=0$ et $(\forall x\in\,]0;+\infty[)\ \ f(x)=x^{3}\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$, et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (on prendra $\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1\,\text{cm}$).

1. En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $t\mapsto\ln(t)$ sur l'intervalle $[x;x+1]$, montrer que : $(P)\,:\ (\forall x\in\,]0;+\infty[)\ \ \dfrac{1}{x+1}\lt \ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\lt \dfrac{1}{x}$.

2.a) En utilisant la proposition $(P)$, montrer que la fonction $f$ est dérivable à droite en $0$.

  b) En utilisant la proposition $(P)$, montrer que la courbe $(\mathcal{C})$ admet une branche parabolique dont on précisera la direction.

3.a) Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et que : $(\forall x\in\,]0;+\infty[)\ \ f'(x)=3x^{2}\left(\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{1}{3(1+x)}\right)$.

  b) En déduire que $f$ est strictement croissante sur $I$ (on pourra utiliser la proposition $(P)$).

  c) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.

4. Pour tout $x\in\,]0;+\infty[$, on pose : $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$.

  a) Vérifier que $(\forall x\in\,]0;+\infty[)\ \ g'(x)=2x\left(\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{1}{2(x+1)}\right)$, en déduire que $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$.

  b) Montrer que l'équation $g(x)=1$ admet sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ une solution unique notée $\alpha$, puis vérifier que $\alpha\in\,]1;2[$ (on prendra $\ln(2)=0,7$ et $\ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)=1,5$).

  c) En déduire que les seules solutions de l'équation $f(x)=x$ sont $0$ et $\alpha$.

5.a) Représenter graphiquement la courbe $(\mathcal{C})$ (on précisera la demi-tangente à droite en $O$ et la branche parabolique de $(\mathcal{C})$).

  b) Montrer que $f$ est une bijection de $I$ vers $I$ (on notera $f^{-1}$ sa bijection réciproque).

Deuxième partie :

On considère la suite $(u_{n})_{n\geq 0}$ définie par : $0\lt u_{0}\lt\alpha$ et $(\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}=f^{-1}(u_{n})$.

1. Montrer par récurrence que : $(\forall n\in\mathbb{N})\ \ 0\lt u_{n}\lt\alpha$.

2.a) Montrer que : $g(\,]0;\alpha[\,)=\,]0;1[$.

  b) En déduire que la suite $(u_{n})_{n\geq 0}$ est strictement croissante.

  c) Montrer que la suite $(u_{n})_{n\geq 0}$ est convergente.

3. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_{n}$.

Troisième partie :

On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $I$ par : $(\forall x\in I)\ \ F(x)=\displaystyle\int_{x}^{1}f(t)\,dt$.

1.a) Étudier suivant les valeurs de $x$, le signe de $F(x)$.

  b) Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur $I$ et déterminer sa dérivée première $F'$.

  c) En déduire que $F$ est strictement décroissante sur $I$.

2.a) Montrer que : $(\forall x\in[1;+\infty[)\ \ F(x)\leq (1-x)\ln(2)$.

  b) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)$.

3.a) En utilisant la méthode d'intégration par parties, montrer que : $(\forall x\in\,]0;+\infty[)\ \ F(x)=\dfrac{\ln(2)}{4}-\dfrac{x^{4}}{4}\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{x}^{1}\dfrac{t^{3}}{1+t}\,dt$.

  b) Calculer $\displaystyle\int_{x}^{1}\dfrac{t^{3}}{1+t}\,dt$ pour tout $x\in\,]0;+\infty[$ (on remarque que $\dfrac{t^{3}}{t+1}=t^{2}-t+1-\dfrac{1}{t+1}$).

  c) En déduire que : $(\forall x\in\,]0;+\infty[)\ \ F(x)=\dfrac{5}{24}-\dfrac{x^{3}}{12}+\dfrac{x^{2}}{8}-\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4}\ln(1+x)-\dfrac{x^{4}}{4}\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$.

  d) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}F(x)$, en déduire la valeur de $\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\,dt$.

4. Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose : $v_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n-1}\left(F\!\left(\dfrac{2k+1}{2n}\right)-F\!\left(\dfrac{k}{n}\right)\right)$.

  a) Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$ et pour tout $k\in\{0,1,\dots,n-1\}$ : $-\dfrac{1}{2n}f\!\left(\dfrac{2k+1}{2n}\right)\leq F\!\left(\dfrac{2k+1}{2n}\right)-F\!\left(\dfrac{k}{n}\right)\leq -\dfrac{1}{2n}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$.

  b) En déduire que : $(\forall n\in\mathbb{N}^{*})\ \ -\dfrac{1}{2n}\displaystyle\sum_{k=1}^{k=n}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)\leq v_{n}\leq -\dfrac{1}{2n}\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n-1}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$ (on remarquera que $\dfrac{2k+1}{2n}\lt\dfrac{k+1}{n}$).

  c) Montrer que la suite $(v_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ est convergente et déterminer sa limite.