Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2020 (Rattrapage)

Exercice 1 (3,5 pts / au choix)

Si tu choisis de traiter l'Exercice 1 il ne faut pas traiter l'Exercice 2.

Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers vérifiant : $p \lt q$ et $9^{\,p+q-1}\equiv 1\ [pq]$.

1) a) Montrer que $p$ et $9$ sont premiers entre eux.

b) En déduire que : $9^{\,p-1}\equiv 1\ [p]$ et que $9^{q}\equiv 1\ [p]$.

2) a) Montrer que $p-1$ et $q$ sont premiers entre eux.

b) En utilisant le théorème de BÉZOUT, montrer que : $p=2$.

3) a) En utilisant le théorème de FERMAT, montrer que : $9^{\,q-1}\equiv 1\ [q]$.

b) En déduire que : $q=5$.

Exercice 2 (3,5 pts / au choix)

Si tu choisis de traiter l'Exercice 2 il ne faut pas traiter l'Exercice 1.

On note $M_3(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices d'ordre $3$ à coefficients réels.
On rappelle que $(M_3(\mathbb{R}),+,.)$ est un espace vectoriel réel de dimension $9$ et que $(M_3(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau non commutatif unitaire de zéro $O=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ et d'unité $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

On considère le sous-ensemble : $E=\left\{\,M(x,y,z)=\begin{pmatrix} x & -y & -y \\ 0 & z & 0 \\ y & x-z & x \end{pmatrix}\ /\ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\right\}$.

Première partie

1) a) Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $(M_3(\mathbb{R}),+,.)$.

b) Déterminer une base de $(E,+,.)$.

2) a) Vérifier que : $\forall (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\ \forall (x',y',z')\in\mathbb{R}^3$ : $M(x,y,z)\times M(x',y',z')=M(xx'-yy',\,xy'+yx',\,zz')$.

b) Montrer que $(E,+,\times)$ est un anneau commutatif.

Deuxième partie

On considère le sous-ensemble $F$ de $E$ des matrices de la forme $M(x,y,0)$ où $(x,y)\in\mathbb{R}^2$.

1) Montrer que $F$ est un sous-groupe du groupe $(E,+)$.

2) On note $\varphi$ l'application de $\mathbb{C}^*$ vers $E$ définie par : $\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ \varphi(x+iy)=M(x,y,0)$.

a) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{C}^*,\times)$ vers $(E,\times)$.

b) Montrer que $(F^*,\times)$ est un groupe commutatif (où $F^*=F\setminus\{O\}$).

c) Montrer que $(F,+,\times)$ est un corps commutatif dont on précisera l'unité.

3) a) Vérifier que : $(\forall M(x,y,0)\in F)$ : $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\times M(x,y,0)=O$.

b) En déduire qu'aucun des éléments du sous-ensemble $F$ n'admet d'inverse pour la multiplication dans $M_3(\mathbb{R})$.

Exercice 3 (3,5 pts / obligatoire)

I. Soit $m$ un nombre réel non nul.
On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ les deux équations :

$(E):\ z^2+2z+1+m^2=0$ et $(F):\ z^3+2(1-i)z^2+(1+m^2-4i)z-2i(1+m^2)=0$.

1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$.

2) a) Montrer que l'équation $(F)$ admet une solution imaginaire pure que l'on déterminera.

b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(F)$.

II. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
On considère les deux points : $A(-1+im)$ et $B(-1-im)$.
Soient $\Omega$ le milieu du segment $[AB]$, $A'$ le milieu du segment $[OB]$ et $B'$ le milieu du segment $[OA]$. La rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ transforme $A$ en $P(p)$, la rotation de centre $A'$ et d'angle $\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ transforme $B$ en $Q(q)$ et la rotation de centre $B'$ et d'angle $\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ transforme $O$ en $R(r)$.

1) Montrer que : $p=-1+m$, $\ q=\dfrac{1-i}{2}(-1-im)$ et $r=\bar{q}$.

2) a) Vérifier que : $q-r=-ip$.

b) En déduire que : $OP=QR$ et que les deux droites $(OP)$ et $(QR)$ sont orthogonales.

Exercice 4 (13 pts / obligatoire)

Première partie

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=[0,1]$ par $f(x)=x\ln(2-x)$ et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)$.

1) a) Montrer que $f$ est dérivable sur $I$ et que : $\forall x\in I$, $f'(x)=\ln(2-x)-\dfrac{x}{2-x}$.

b) Montrer que la fonction dérivée $f'$ est strictement décroissante sur $I$.

c) Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha\in\,]0,1]$ tel que : $f'(\alpha)=0$ et que $f(\alpha)=\dfrac{\alpha^2}{2-\alpha}$.

2) a) Étudier les variations de $f$, puis donner son tableau de variations.

b) Montrer que la courbe $(C)$ est concave.

c) Montrer que : $(\forall t\in I),\ (\forall x\in I)$ : $f(x)\le f'(t)(x-t)+f(t)$.

d) En déduire que : $(\forall x\in I)$ : $f(x)\le x\ln(2)$ et $f(x)\le -x+1$.

3) Représenter la courbe $(C)$ (on prendra $\|\vec{i}\|=2\,cm$).

4) Calculer, en $cm^2$, l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$ et les droites d'équations respectives : $x=0$, $x=1$ et $y=0$.

Deuxième partie

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
On considère la fonction $f_n$ définie sur $I=[0,1]$ par : $f_n(x)=x^n\ln(2-x)$.

1) a) Vérifier que $f_n$ est positive sur $I$ et que $f_n(0)=f_n(1)$.

b) Montrer qu'il existe au moins $\alpha_n\in\,]0,1[$ tel que $f_n'(\alpha_n)=0$.

2) a) Montrer que $f_n$ est dérivable sur $I$ et que : $\forall x\in I$, $f_n'(x)=x^{n-1}g_n(x)$ où : $g_n(x)=n\ln(2-x)-\dfrac{x}{2-x}$.

b) Montrer que la fonction $g_n$ est strictement décroissante sur $I$.

c) En déduire que $\alpha_n$ est unique.

3) On considère la suite $(\alpha_n)_{n\ge 2}$ ainsi définie.

a) Montrer que : $\forall n\ge 2$, $f_n(\alpha_n)=\dfrac{1}{n}\times\dfrac{\alpha_n^{\,n+1}}{2-\alpha_n}$, en déduire que : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} f_n(\alpha_n)=0$.

b) Montrer que : $\forall n\ge 2$, $g_n(\alpha_{n+1})=-\ln(2-\alpha_{n+1})$, en déduire que la suite $(\alpha_n)_{n\ge 2}$ est strictement croissante.

c) Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n\ge 2}$ est convergente.

d) Montrer que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\alpha_n=1$.

Troisième partie

Pour tout entier naturel $n\ge 2$, on pose : $I_n=\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,dx$.

1) Montrer que la suite $(I_n)_{n\ge 2}$ est décroissante, en déduire qu'elle est convergente.

2) En utilisant une intégration par parties, montrer que : $I_n=\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^{n+1}}{2-x}\,dx$.

3) Montrer que : $(\forall n\ge 2)$ : $0\le I_n\le \dfrac{1}{n+1}$, en déduire que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} I_n=0$.