Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2021 (Normale)
Sujet officiel de l'examen national de mathématiques, 2ème Bac Sciences Maths (A & B), session normale 2021. Énoncé + corrigé détaillé.
Exercice 1 (12 points)
Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f_n(x)=\dfrac{-2e^x}{1+e^x}+nx$$
Soit $(\mathcal{C}_n)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$ (on prend $\|\vec{\imath}\|=\|\vec{\jmath}\|=1\,cm$).
Partie I :
1. a) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f_n(x)-nx+2\big)$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b) Montrer que la courbe $(\mathcal{C}_n)$ admet, en $-\infty$, une asymptote $(\Delta_n)$ dont on déterminera une équation cartésienne.
2. a) Montrer que la fonction $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que :
$$(\forall x\in\mathbb{R})\ ;\ f_n'(x)=\dfrac{-2e^x}{\left(1+e^x\right)^2}+n$$
b) Montrer que : $(\forall x\in\mathbb{R})\ ;\ \dfrac{4e^x}{\left(1+e^x\right)^2}\le 1$.
c) En déduire le sens de variations de $f_n$ sur $\mathbb{R}$. (On distinguera les deux cas : $n=0$ et $n\ge 1$)
3. a) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $(\mathcal{C}_n)$ au point $I$ d'abscisse $0$.
b) Montrer que le point $I$ est le seul point d'inflexion de la courbe $(\mathcal{C}_n)$.
4. Représenter graphiquement dans le même repère, les deux courbes $(\mathcal{C}_0)$ et $(\mathcal{C}_2)$.
5. Pour tout réel $t\gt 0$, on pose $A(t)$ l'aire du domaine plan limité par $(\mathcal{C}_0)$ et les droites d'équations respectives : $y=nx-2$, $x=0$ et $x=t$.
a) Calculer $A(t)$ pour tout $t\gt 0$.
b) Calculer $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}A(t)$.
Partie II :
On considère la suite $(u_n)_{n\ge 0}$ définie par : $u_0=0$ et $(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ u_{n+1}=f_0(u_n)$.
1. a) Montrer que l'équation $f_0(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.
b) Montrer que : $(\forall x\in\mathbb{R})\ ;\ |f_0'(x)|\le\dfrac{1}{2}$.
2. a) Montrer que : $(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ |u_{n+1}-\alpha|\le\dfrac{1}{2}\,|u_n-\alpha|$.
b) En déduire que : $(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ |u_n-\alpha|\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n|\alpha|$.
c) Montrer que la suite $(u_n)_{n\ge 0}$ converge vers $\alpha$.
Partie III :
On suppose dans cette partie que $n$ est un entier tel que $n\ge 2$.
1. a) Montrer que pour tout $n\ge 2$, il existe un unique réel $x_n$ solution de l'équation $f_n(x)=0$.
b) Montrer que pour tout entier $n\ge 2$, $0\lt x_n\lt 1$. (On prendra $\dfrac{2e}{1+e}\lt 1.47$)
2. a) Montrer que pour tout entier $n\ge 2$, $f_{n+1}(x_n)\gt 0$.
b) En déduire que la suite $(x_n)_{n\ge 2}$ est strictement décroissante.
c) En déduire que la suite $(x_n)_{n\ge 2}$ est convergente.
3. a) Montrer que pour tout entier $n\ge 2$, $\dfrac{1}{n}\lt x_n\lt\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{2e}{1+e}\right)$.
b) En déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n$, puis montrer que : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}nx_n=1$.
4. a) Montrer que pour tout entier $n\ge 2$, on a : $x_n\le x_2$.
b) En déduire : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(x_n)^n$.
Exercice 2 (4 points)
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres complexes non nuls tels que : $a+b\ne c$.
1. a) Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ :
$$(E)\ :\ z^2-(a+b+c)z+c(a+b)=0$$
b) On suppose dans cette question que : $a=i$, $b=e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $c=a-b$. Écrire les deux solutions de l'équation $(E)$ sous forme exponentielle.
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$.
On considère les trois points $A(a)$, $B(b)$ et $C(c)$ qu'on suppose non alignés.
Soient $P(p)$ le centre de rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ qui transforme $B$ en $A$, et $Q(q)$ le centre de rotation d'angle $\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ qui transforme $C$ en $A$, et $D(d)$ le milieu du segment $[BC]$.
a) Montrer que : $2p=b+a+(a-b)i$ et $2q=c+a+(c-a)i$.
b) Calculer $\dfrac{p-d}{q-d}$.
c) En déduire la nature du triangle $PDQ$.
3. Soient $E$ le symétrique de $B$ par rapport à $P$ et $F$ le symétrique de $C$ par rapport à $Q$ et $K$ le milieu du segment $[EF]$.
a) Montrer que l'affixe de $K$ est $k=a+\dfrac{1}{2}(c-b)$.
b) Montrer que les points $K$, $P$, $Q$ et $D$ sont cocycliques.
Exercice 3 (4 points)
Partie I : On considère dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(E)$ : $47x-43y=1$.
1. Vérifier que le couple $(11,12)$ est une solution particulière de l'équation $(E)$.
2. Résoudre dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(E)$.
Partie II : On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(F)$ : $x^{41}\equiv 4\ [43]$.
1. Soit $x\in\mathbb{Z}$ une solution de l'équation $(F)$.
a) Montrer que $x$ et $43$ sont premiers entre eux, en déduire que : $x^{42}\equiv 1\ [43]$.
b) Montrer que : $4x\equiv 1\ [43]$, en déduire que : $x\equiv 11\ [43]$.
2. Donner l'ensemble des solutions dans $\mathbb{Z}$ de l'équation $(F)$.
Partie III : On considère dans $\mathbb{Z}$ le système à deux équations suivant $(S)$ : $\begin{cases}x^{41}\equiv 4\ [43]\\x^{47}\equiv 10\ [47]\end{cases}$.
1. Soit $x$ une solution du système $(S)$.
a) Montrer que $x$ est solution du système $(S')$ : $\begin{cases}x\equiv 11\ [43]\\x\equiv 10\ [47]\end{cases}$.
b) En déduire que : $x\equiv 527\ [2021]$ (On pourra utiliser la partie I).
2. Donner l'ensemble des solutions dans $\mathbb{Z}$ du système $(S)$.