Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2021 (Rattrapage)

Exercice 1 (8 points)

Partie I :

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=\left]-\infty,1\right[$ par : $f(x)=\ln(1-x)$.
Soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)$.

1) a) Montrer que la fonction $f$ est continue sur $I$.
b) Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.
c) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}$.
d) Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
e) Donner le tableau de variations de $f$.

2) a) Montrer que la courbe $(\mathcal{C})$ est concave.
b) Représenter graphiquement la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère $\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)$.

3) a) Montrer que $f$ est une bijection de $I$ vers $\mathbb{R}$.
On note $f^{-1}$ sa bijection réciproque.
b) Déterminer $f^{-1}(x)$ pour $x\in\mathbb{R}$.
c) Vérifier que : $f^{-1}(-1)=1-e^{-1}$.

Partie II :

Pour tout réel $x$ et tout entier naturel $n\geq 2$, on pose : $P_n(x)=x+\dfrac{x^{2}}{2}+\cdots+\dfrac{x^{n}}{n}$.

1) Montrer que pour tout entier $n\geq 2$, il existe un unique réel $x_n\in\left]0,1\right]$ tel que : $P_n(x_n)=1$.

2) Déterminer le réel $\alpha=x_2$ et vérifier que : $0\lt \alpha\lt 1$.

3) a) Montrer que pour tout entier $n\geq 2$, on a : $P_{n+1}(x_n)\gt 1$.
b) En déduire que la suite $(x_n)_{n\geq 2}$ est strictement décroissante.
c) Montrer que pour tout entier $n\geq 2$, on a : $x_n\in\left[0,\alpha\right[$.
d) Montrer que la suite $(x_n)_{n\geq 2}$ est convergente.

4) Pour tout réel $x\in I$ et tout entier naturel $n\geq 2$, on pose : $f_n(x)=f(x)+P_n(x)$.
a) Montrer que : $(\forall x\in I)\;(\forall n\geq 2)\;f_n'(x)=\dfrac{-x^{n}}{1-x}$.
b) Montrer que : $(\forall x\in\left[0,\alpha\right])\;(\forall n\geq 2)\;\left|f_n'(x)\right|\leq\dfrac{\alpha^{n}}{1-\alpha}$.
c) En déduire que : $(\forall x\in\left[0,\alpha\right])\;(\forall n\geq 2)\;\left|f_n(x)\right|\leq\dfrac{\alpha^{n}}{1-\alpha}$.
d) Montrer que : $(\forall n\geq 2)\;\left|f(x_n)\right|\leq\dfrac{\alpha^{n}}{1-\alpha}$.
e) En déduire la valeur de $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n$.

Exercice 2 (4 points)

On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x)=\displaystyle\int_0^{x}e^{\,t-\frac{t^{2}}{2}}\,dt$.

1) a) Déterminer le signe de $F(x)$ en fonction de $x$.
b) Montrer que $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer sa dérivée première $F'(x)$.

2) a) En utilisant la méthode d'intégration par parties, montrer que : $\displaystyle\int_0^{1}F(x)\,dx=\int_0^{1}(1-x)\,e^{\,x-\frac{x^{2}}{2}}\,dx$.
b) Calculer $\displaystyle\int_0^{1}F(x)\,dx$.

3) On considère la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ définie par : $(\forall n\in\mathbb{N}^{*})\;u_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n-1}\left((n-k)\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}e^{\,t-\frac{t^{2}}{2}}\,dt\right)$.
a) Vérifier que : $(\forall n\in\mathbb{N}^{*})\;u_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n-1}(n-k)F\left(\dfrac{k+1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n-1}(n-k)F\left(\dfrac{k}{n}\right)$.
b) Montrer que : $(\forall n\in\mathbb{N}^{*})\;u_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{k=n}F\left(\dfrac{k}{n}\right)$.
c) En déduire que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 3 (4 points)

$m$ est un nombre complexe différent de $2$ et de $-i$. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$.
On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E)\;:\;z^{2}-(m-i)z-im=0$.

1) a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $(m+i)^{2}$.
b) Déterminer $z_1$ et $z_2$ les deux solutions de $(E)$.
c) Sachant que $m=e^{\,i\frac{\pi}{8}}$, écrire le nombre $z_1+z_2$ sous forme exponentielle.

2) On considère les points $A$, $B$ et $M$ d'affixes respectifs $2$, $-i$ et $m$, et soit $M'$ le symétrique de $M$ par rapport à l'axe imaginaire.
a) Déterminer en fonction de $m$ l'affixe de $M'$.
b) Déterminer en fonction de $m$ l'affixe du point $N$ tel que le quadrilatère $ANM'B$ est un parallélogramme.
c) Montrer que les deux droites $(AM)$ et $(BM')$ sont perpendiculaires si et seulement si $\operatorname{Re}\big((2-i)m\big)=\operatorname{Re}\big(m^{2}\big)$.

Exercice 4 (4 points)

Soit $a$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et soit $A=1+a+a^{2}+a^{3}+a^{4}+a^{5}+a^{6}$.
Soit $p$ un nombre premier impair tel que : $p$ divise $A$.

1) a) Montrer que $a^{7}\equiv 1\;[p]$, en déduire que $(\forall n\in\mathbb{N})\;a^{7n}\equiv 1\;[p]$.
b) Montrer que $a$ et $p$ sont premiers entre eux, en déduire que : $(\forall m\in\mathbb{N})\;a^{(p-1)m}\equiv 1\;[p]$.

2) On suppose que $7$ ne divise pas $p-1$.
a) Montrer que : $a\equiv 1\;[p]$.
b) En déduire que : $p=7$.

3) Montrer que si $p$ est un nombre premier impair tel que $p$ divise $A$, alors : $p=7$ ou $p\equiv 1\;[7]$.