Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2022 (Normale)

Exercice 1 (10 points)

Partie A :

1. Vérifier que : $(\forall x \in \mathbb{R}^{+})\;:\;0 \le 1 - x + x^2 - \dfrac{1}{x+1} \le x^3$.

2. En déduire que : $(\forall x \in \mathbb{R}^{+})\;:\;0 \le x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \ln(1+x) \le \dfrac{x^4}{4}$.

Partie B : On considère la fonction $f$ définie sur $I = \left]0;+\infty\right[$ par :

$f(0) = \dfrac{1}{2}$ et pour tout $x$ de $\left]0;+\infty\right[$ : $f(x) = \dfrac{x - \ln(1+x)}{x^2}$.

Et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.

1. a) Montrer que $f$ est continue à droite en $0$.

b) Montrer que $f$ est dérivable à droite en $0$.

c) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2. a) Montrer que : $(\forall x \in \left]0;+\infty\right[)\;:\;f'(x) = -\dfrac{g(x)}{x^3}$ où : $g(x) = x + \dfrac{x}{x+1} - 2\ln(1+x)$.

b) Montrer que : $(\forall x \in I)\;:\;0 \le g'(x) \le x^2$.

c) En déduire que : $(\forall x \in I)\;:\;0 \le g(x) \le \dfrac{x^3}{3}$.

d) Déterminer le sens de variations de $f$.

3. a) Dresser le tableau de variation de $f$.

b) Représenter graphiquement la courbe $(C)$ dans le repère $\left(O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$. (On prendra $\|\vec{\imath}\| = 2\,cm$ et $\|\vec{\jmath}\| = 2\,cm$.)

Partie C :

1. Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha \in \left]0;1\right]$ tel que $f(\alpha) = \alpha$.

2. On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $u_0 = \dfrac{1}{3}$ et $(\forall n \in \mathbb{N})\;:\;u_{n+1} = f(u_n)$.

a) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N})\;:\;u_n \in \left[0;1\right]$.

b) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N})\;:\;|u_{n+1} - \alpha| \le \left(\dfrac{1}{3}\right)|u_n - \alpha|$.

c) Montrer par récurrence que : $(\forall n \in \mathbb{N})\;:\;|u_n - \alpha| \le \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}$.

d) En déduire que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$.

Partie D : Pour tout $x$ de $I$, on pose : $F(x) = \displaystyle\int_{x}^{1} f(t)\,dt$.

1. Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur $I$ et calculer $F'(x)$ pour tout $x \in I$.

2. a) En utilisant la méthode d'intégration par parties, montrer que : $(\forall x \in \left]0;+\infty\right[)\;:\;F(x) = 2\ln 2 - \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)\ln(1+x)$.

b) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} F(x)$, puis déduire que $\displaystyle\int_{0}^{1} f(t)\,dt = 2\ln 2 - 1$.

c) Calculer en $cm^2$ l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.

Partie E : On pose, pour tout $k$ de $\mathbb{N}$ : $\Delta_k = f(k) - \displaystyle\int_{k}^{k+1} f(t)\,dt$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ : $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n-1} \Delta_k$.

1. a) Vérifier que : $(\forall k \in \mathbb{N})\;:\;0 \le \Delta_k \le f(k) - f(k+1)$.

b) En déduire que : $(\forall n \in \mathbb{N}^{*})\;:\;0 \le S_n \le \dfrac{1}{2}$.

2. a) Montrer que la suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ est monotone.

b) En déduire que la suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ est convergente.

c) Montrer que la limite $\ell$ de la suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ vérifie : $\dfrac{3}{2} - 2\ln 2 \le \ell \le \dfrac{1}{2}$.

Exercice 2 (3,5 points)

Soit $m$ un nombre complexe non nul donné et $j = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i = e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

Partie I : On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E_m)\;:\;z^2 + m\,j^2 z + m^2 j = 0$.

1. Vérifier que : $j^3 = 1$ et $1 + j + j^2 = 0$.

2. a) Montrer que le discriminant de l'équation $(E_m)$ est $\Delta = \big[m(1-j)\big]^2$.

b) Déterminer $z_1$ et $z_2$ les deux solutions de l'équation $(E_m)$.

3. Dans cette question, on suppose que $m = 1 + i$.
Montrer que $(z_1 + z_2)^{2022}$ est un imaginaire pur.

Partie II : Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O,\,\vec{u},\,\vec{v}\right)$.
Soit $\varphi$ la transformation du plan complexe qui à tout point $M(z)$ fait correspondre le point $M'(z')$ tel que : $z' = (1+j)z$.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'application $\varphi$.

2. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $m$, $mj$ et $mj^2$.
On note $A'(a')$, $B'(b')$ et $C'(c')$ les images respectives des points $A$, $B$ et $C$ par l'application $\varphi$ et soient $P(p)$, $Q(q)$ et $R(r)$ les milieux respectifs des segments $[BA']$, $[CB']$ et $[AC']$.

a) Montrer que : $a' = -mj^2$, $b' = -m$ et $c' = -mj$.

b) Montrer que : $p + qj + rj^2 = 0$.

c) En déduire que le triangle $PQR$ est équilatéral.

Exercice 3 (3 points)

Soit $n$ un entier naturel strictement supérieur à $1$.
On considère dans $\mathbb{N}^2$ l'équation $(E_n)\;:\;(x+1)^n - x^n = ny$.
Soit $(x,y)$ une solution de l'équation $(E_n)$ dans $\mathbb{N}^2$ et soit $p$ le plus petit diviseur premier de $n$.

1. a) Montrer que $(x+1)^n \equiv x^n\ [p]$.

b) Montrer que $p$ est premier avec $x$ et avec $(x+1)$.

c) En déduire que $(x+1)^{p-1} \equiv x^{p-1}\ [p]$.

2. Montrer que si $n$ est pair, alors l'équation $(E_n)$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{N}^2$.

3. On suppose que $n$ est impair.

a) Montrer qu'il existe un couple $(u,v)$ de $\mathbb{Z}^2$ tel que : $nu + (p-1)v = 1$. (On rappelle que $p$ est le plus petit diviseur premier de $n$.)

b) Soient $q$ et $r$ respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de $u$ par $(p-1)$.
Vérifier que : $nr = 1 - (p-1)(v + nq)$.

c) On pose $v' = -(v + nq)$.
Montrer que : $v' \ge 0$.

d) Montrer que l'équation $(E_n)$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{N}^2$.

Exercice 4 (3,5 points)

On rappelle que $(M_2(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire non commutatif d'unité $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et que $(\mathbb{Z},+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire et intègre.

Soit $E = \left\{ M(a,b) = \begin{pmatrix} a & 3b \\ b & a \end{pmatrix} \;/\; (a,b) \in \mathbb{Z}^2 \right\}$.

1. a) Montrer que $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb{R}),+)$.

b) Vérifier que pour tout $a$, $b$, $c$ et $d$ de $\mathbb{Z}$, on a : $M(a,b)\times M(c,d) = M(ac+3bd,\ ad+bc)$.

c) Montrer que $(E,+,\times)$ est un anneau commutatif et unitaire.

2. Soit $\varphi$ l'application définie de $E$ vers $\mathbb{Z}$ par : $(\forall(a,b)\in\mathbb{Z}^2)\;;\;\varphi\big(M(a,b)\big) = |a^2 - 3b^2|$.
Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(E,\times)$ vers $(\mathbb{Z},\times)$.

3. Soit $M(a,b) \in E$.

a) Montrer que $M(a,b)\times M(a,-b) = (a^2-3b^2)\,I$.

b) Montrer que si $M(a,b)$ est inversible dans $(E,\times)$ alors $\varphi\big(M(a,b)\big) = 1$.

c) On suppose que $\varphi\big(M(a,b)\big) = 1$.
Montrer que $M(a,b)$ est inversible dans $(E,\times)$ et préciser son inverse.

4. a) Montrer que : $(\forall(a,b)\in\mathbb{Z}^2)\;;\;\varphi\big(M(a,b)\big) = 0 \Leftrightarrow a = b = 0$.

b) En déduire que l'anneau $(E,+,\times)$ est intègre.

c) Est-ce que $(E,+,\times)$ est un corps ? Justifier votre réponse.