Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2022 (Rattrapage)

Partie A

1. Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R})\ ;\ 1+x \le e^{x}$.

2. a) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}^{+})\ ;\ 0 \le 1-e^{-x} \le x$.

b) En déduire que : $(\forall x \in \mathbb{R}^{+})\ ;\ 0 \le 1-x+\dfrac{x^{2}}{2}-e^{-x} \le \dfrac{x^{3}}{6}$.

c) Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1-x-e^{-x}}{x^{2}}=-\dfrac{1}{2}$.

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur $I=[0,+\infty[$ par :

$f(0)=1$ et $\forall x \in\ ]0,+\infty[\ ;\ f(x)=\dfrac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}$.

Et soit $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$.

1. a) Montrer que $f$ est continue à droite en $0$.

b) Vérifier que : $(\forall x \gt 0)\ ;\ \dfrac{f(x)-1}{x}=\dfrac{1-2x-e^{-2x}}{x^{2}}-\dfrac{1-x-e^{-x}}{x^{2}}$.

c) En déduire que $f$ est dérivable à droite en $0$ et que le nombre dérivé à droite en $0$ est $-\dfrac{3}{2}$.

2. a) Montrer que : $(\forall x \gt 0)\ ;\ f'(x)=\dfrac{e^{-2x}}{x^{2}}\left(2x+1-e^{x}(1+x)\right)$.

b) Montrer que : $(\forall x \gt 0)\ ;\ f'(x) \le -e^{-2x}$ (On pourra utiliser : $1+x \le e^{x}$).

c) En déduire le sens de variations de $f$ sur $I$.

3. On admet que : $(\forall x \gt 0)\ ;\ f''(x)=\dfrac{e^{-2x}}{x^{3}}\left(-4x^{2}-4x-2+e^{x}(2+2x+x^{2})\right)$.

a) Montrer que : $(\forall x \ge 0)\ ;\ 1+x+\dfrac{x^{2}}{2} \le e^{x}$.

b) En déduire que : $(\forall x \gt 0)\ ;\ f''(x) \gt 0$.

4. On admet que : $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f'(x)=-\dfrac{3}{2}$.

a) Montrer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0$.

b) En déduire que : $(\forall x \in I)\ ;\ |f'(x)| \le \dfrac{3}{2}$.

5. a) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

b) Dresser le tableau de variations de $f$.

c) Déterminer la position relative de la courbe $(\mathscr{C})$ par rapport à sa demi-tangente au point $T(0,1)$.

d) Représenter graphiquement la courbe $(\mathscr{C})$ dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$.

Partie C

1. Pour tout $x$ de $[0,1]$, on pose $g(x)=f(x)-x$.

a) Montrer que $g$ est une bijection de $[0,1]$ vers un intervalle $J$ que l'on déterminera.

b) Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha \in\ ]0,1[$ tel que $f(\alpha)=\alpha$.

2. Pour tout entier naturel non nul $n$ et pour tout entier $k \in \{0,1,\dots,n\}$, on considère les nombres réels $x_{k}=\dfrac{k\alpha}{n}$ et on pose $I_{k}=\displaystyle\int_{x_{k}}^{x_{k+1}}f(t)\,dt$ et $J_{k}=\displaystyle\int_{x_{k}}^{x_{k+1}}f(x_{k})\,dt$.

a) Montrer que : $\forall k \in \{0,1,\dots,n\}\ ;\ |J_{k}-I_{k}| \le \dfrac{3}{2}\displaystyle\int_{x_{k}}^{x_{k+1}}(t-x_{k})\,dt$.

b) En déduire que : $\forall k \in \{0,1,\dots,n\}\ ;\ |J_{k}-I_{k}| \le \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{\alpha}{n}\right)^{2}$.

3. On pose $L=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}f(t)\,dt$.

a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ : $\left|\dfrac{\alpha}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n-1}f\left(\dfrac{k\alpha}{n}\right)-L\right| \le \dfrac{3}{4}\dfrac{\alpha^{2}}{n}$.

b) En déduire que : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\alpha}{n}\sum_{k=0}^{k=n-1}f\left(\dfrac{k\alpha}{n}\right)=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}f(t)\,dt$.

Soit $m\in\mathbb{C}\setminus\{-1,0,1\}$.

Partie I : On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E_{m})$ d'inconnue $z$ :

$(E_{m})\ :\ mz^{2}-(m-1)^{2}z-(m-1)^{2}=0$.

1. a) Montrer que le discriminant de l'équation $(E_{m})$ est $\Delta=(m^{2}-1)^{2}$.

b) Déterminer $z_{1}$ et $z_{2}$ les deux solutions de l'équation $(E_{m})$.

2. On prend uniquement dans cette question $m=e^{i\theta}$ avec $0\lt\theta\lt\pi$. Écrire $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme exponentielle.

Partie II : Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
On considère les deux points $A$ et $B$ d'affixes respectifs $m-1$ et $\dfrac{1}{m}-1$.

1. Montrer que les points $O$, $A$ et $B$ sont alignés si et seulement si $m\in\mathbb{R}$.

2. On suppose que $m$ n'est pas un nombre réel.
Soient $C$ l'image du point $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et $D$ l'image du point $A$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et soient $P(p)$, $Q(q)$ et $R(r)$ les milieux respectifs des segments $[AC]$, $[AD]$ et $[OB]$.

a) Montrer que l'affixe du point $C$ est : $c=m-1+\left(\dfrac{1}{m}-m\right)e^{i\frac{\pi}{3}}$ et que l'affixe du point $D$ est : $d=(m-1)e^{i\frac{\pi}{3}}$.

b) Montrer que : $2(p-r)=m-1+\left(\dfrac{1}{m}-m\right)\left(e^{i\frac{\pi}{3}}-1\right)$ et $2(q-r)=(m-1)e^{i\frac{\pi}{3}}-\left(\dfrac{1}{m}-m\right)$.

c) Montrer que : $q-r=e^{i\frac{\pi}{3}}(p-r)$.

d) Quelle est la nature du triangle $PQR$ ? (justifier votre réponse)

On rappelle que $(M_{3}(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire non commutatif et non intègre d'unité $I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ (la loi $\times$ étant la multiplication usuelle des matrices).

Pour tout réel $a$ on pose $M(a)=\begin{pmatrix}1&0&0\\a+1&3&-1\\2a+3&6&-2\end{pmatrix}$ et soit $G=\{M(a)\,/\,a\in\mathbb{R}\}$.

1. Soit $\varphi$ l'application de $\mathbb{R}$ vers $M_{3}(\mathbb{R})$ définie par : $(\forall a\in\mathbb{R})\ ;\ \varphi(a)=M(a)$.

a) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ vers $(M_{3}(\mathbb{R}),\times)$.

b) Montrer que $\varphi(\mathbb{R})=G$, en déduire que $(G,\times)$ est un groupe commutatif.

c) Déterminer $J$ l'élément neutre dans $(G,\times)$.

d) Déterminer l'inverse de $M(a)$ dans $(G,\times)$.

e) Résoudre dans $(G,\times)$ l'équation : $M(1)\times X=M(2)$.

2. a) Montrer que : $(\forall a\in\mathbb{R})\ ;\ M(a)\times J=M(a)\times I$.

b) En déduire que pour tout $a\in\mathbb{R}$, $M(a)$ n'est pas inversible dans $(M_{3}(\mathbb{R}),\times)$.

c) Vérifier que les matrices de la forme $X=\begin{pmatrix}1&0&0\\x+2&3&0\\3x+5&6&1\end{pmatrix}$ avec $x\in\mathbb{R}$, sont solutions dans $(M_{3}(\mathbb{R}),\times)$ de l'équation : $M(1)\times X=M(2)$.

1. Montrer que $137$ est un nombre premier.

2. Déterminer un couple $(u,v)$ de $\mathbb{Z}^{2}$ tel que : $38u+136v=2$.

3. Soit $x\in\mathbb{Z}$ tel que : $x^{38}\equiv1\,[137]$.

a) Montrer que $x$ et $137$ sont premiers entre eux.

b) Montrer que : $x^{136}\equiv1\,[137]$.

c) Montrer que : $x^{2}\equiv1\,[137]$.

4. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E)$ : $x^{19}\equiv1\,[137]$.