Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2023 (Normale)

Partie I

1) a) Montrer que : $\forall t\in\,]0,+\infty[\ ;\ \dfrac{4}{(2+t)^2}\le \dfrac{1}{1+t}\le \dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{(1+t)^2}\right)$.

b) En déduire que : $\forall x\in\,]0,+\infty[\ ;\ \dfrac{2x}{2+x}\le \ln(1+x)\le \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^2+2x}{1+x}\right)$.

2) Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $]0,+\infty[$ par : $g(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$.

Montrer que : $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}\dfrac{g(x)-1}{x}=\dfrac{-1}{2}$.

Partie II

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $[0,+\infty[$ par : $f(0)=1$ et $\forall x\in\,]0,+\infty[\ ;\ f(x)=g(x)e^{-x}$.

On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2) a) Montrer que $f$ est continue à droite en $0$.

b) Vérifier que : $\forall x\in\,]0,+\infty[\ ;\ \dfrac{f(x)-1}{x}=\left(\dfrac{e^{-x}-1}{x}\right)g(x)+\left(\dfrac{g(x)-1}{x}\right)$.

c) En déduire que $f$ est dérivable à droite en $0$ et déterminer $f_d'(0)$.

3) Montrer que $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ puis que : $\forall x\in\,]0,+\infty[\ ;\ f'(x)=\dfrac{x-(1+x)^2\ln(1+x)}{x^2(1+x)}e^{-x}$.

4) a) Montrer que : $\forall x\in\,]0,+\infty[\ ;\ -\dfrac{3}{2}\le \dfrac{x-(1+x)^2\ln(1+x)}{x^2(1+x)}<0$.

b) En déduire que : $\forall x\in\,]0,+\infty[\ ;\ -\dfrac{3}{2}\le f'(x)<0$.

5) a) Dresser le tableau de variations de $f$.

b) Construire la courbe $(C)$ en faisant apparaître la demi-tangente à droite au point d'abscisse $0$ (on prendra $\|\vec{i}\|=2\text{ cm}$).

Partie III

1) Montrer que l'équation d'inconnue $x$ : $f(x)=3x$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0,+\infty[$.

2) Soient $\beta\in\mathbb{R}^*$ et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite numérique définie par : $u_0=\beta$ et $\forall n\in\mathbb{N}\ ;\ u_{n+1}=\dfrac{1}{3}f(u_n)$.

a) Montrer que : $\forall n\in\mathbb{N}\ ;\ u_n\ge 0$.

b) Montrer que : $\forall n\in\mathbb{N}\ ;\ |u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}|u_n-\alpha|$.

c) Montrer par récurrence que : $\forall n\in\mathbb{N}\ ;\ |u_n-\alpha|\le \dfrac{1}{2^n}|\beta-\alpha|$.

d) En déduire que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$.

On considère la fonction numérique $x\mapsto e^x$ et soit $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ et pour tout $k\in\{0;1;...;n\}$, on note $M_k$ le point de la courbe $(\Gamma)$ de coordonnées $\left(\dfrac{k}{n}\,;\,e^{k/n}\right)$.

1) a) Montrer que : $\forall k\in\{0;1;...;(n-1)\}\ \exists c_k\in\left]\dfrac{k}{n}\,;\,\dfrac{k+1}{n}\right[$ tel que : $e^{\frac{k+1}{n}}-e^{\frac{k}{n}}=\dfrac{1}{n}e^{c_k}$.

b) Montrer que : $\forall k\in\{0;1;...;(n-1)\}\ ;\ M_kM_{k+1}=\dfrac{1}{n}\sqrt{1+e^{2c_k}}$ ($M_kM_{k+1}$ désigne la distance de $M_k$ à $M_{k+1}$).

c) En déduire que : $\forall k\in\{0;1;...;(n-1)\}\ ;\ \dfrac{1}{n}\sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}}\le M_kM_{k+1}\le \dfrac{1}{n}\sqrt{1+e^{\frac{2(k+1)}{n}}}$.

2) Soit $(S_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite numérique définie par : $\forall n\in\mathbb{N}^*\ ;\ S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}M_kM_{k+1}$.

a) Vérifier que : $\forall n\in\mathbb{N}^*\ ;\ \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}}\le S_n\le \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}}$.

b) En déduire que : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}\,dx$.

On considère le nombre complexe : $u=1+\left(2-\sqrt{3}\right)i$.

1) a) Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes : $1-i$ et $1+\sqrt{3}\,i$.

b) Montrer que : $\dfrac{(1-i)\left(1+\sqrt{3}\,i\right)}{2\sqrt{2}}=e^{i\frac{\pi}{12}}$.

c) En déduire que : $\tan\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=2-\sqrt{3}$.

d) Montrer que : $u=\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)e^{i\frac{\pi}{12}}$.

2) On considère les deux suites numériques $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies par : $x_0=1$, $y_0=0$ et $(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ \begin{cases}x_{n+1}=x_n-\left(2-\sqrt{3}\right)y_n\\ y_{n+1}=\left(2-\sqrt{3}\right)x_n+y_n\end{cases}$.

a) Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}\ ;\ x_n+iy_n=u^n$.

b) En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}\ ;\ x_n=\dfrac{\cos\!\left(\frac{n\pi}{12}\right)}{\left(\cos\frac{\pi}{12}\right)^n}$ et $y_n=\dfrac{\sin\!\left(\frac{n\pi}{12}\right)}{\left(\cos\frac{\pi}{12}\right)^n}$.

3) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{e_1},\vec{e_2})$. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $u^n$.

a) Déterminer les entiers $n$ pour lesquels les points $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés.

b) Montrer que pour tout entier $n$, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.

Soit $p$ un nombre premier impair.
On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E)$ : $x^2\equiv 2\ [p]$.

1) a) Montrer que : $2^{p-1}\equiv 1\ [p]$.

b) En déduire que : $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p]$ ou $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\ [p]$. (On remarque que : $\left(2^{\frac{p-1}{2}}-1\right)\left(2^{\frac{p-1}{2}}+1\right)=2^{p-1}-1$.)

2) Soit $x$ une solution de l'équation $(E)$.

a) Montrer que $p$ et $x$ sont premiers entre eux.

b) En déduire que : $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p]$. (On pourra utiliser le théorème de Fermat.)

3) Montrer que pour tout $k\in\{1,2,...,p-1\}$, $p$ divise $C_p^k$. (On rappelle que : $\forall k\in\{1,2,...,p-1\}\ ;\ C_p^k=\dfrac{p!}{k!(p-k)!}$ et que : $kC_p^k=p\,C_{p-1}^{k-1}$.)

4) a) En utilisant la formule de Moivre, montrer que : $(1+i)^p=2^{\frac{p}{2}}\cos\!\left(p\dfrac{\pi}{4}\right)+i\,2^{\frac{p}{2}}\sin\!\left(p\dfrac{\pi}{4}\right)$ ($i$ étant le nombre complexe tel que $i^2=-1$).

b) On admet que : $(1+i)^p=\displaystyle\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}(-1)^k C_p^{2k}+i\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}(-1)^k C_p^{2k+1}$.
Montrer que $2^{\frac{p}{2}}\cos\!\left(p\dfrac{\pi}{4}\right)\in\mathbb{Z}$ et $2^{\frac{p}{2}}\cos\!\left(p\dfrac{\pi}{4}\right)\equiv 1\ [p]$. (On pourra utiliser la question 3.)

5) En déduire que si $p\equiv 5\ [8]$ alors l'équation $(E)$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{Z}$.

On rappelle que $(M_2(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau non commutatif, de zéro la matrice $O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ et d'unité la matrice $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, et que $(M_2(\mathbb{R}),+,\cdot)$ est un espace vectoriel réel.

On considère l'ensemble $E=\left\{M(x,y)=\begin{pmatrix}x+y&y\\2y&x-y\end{pmatrix}\ /\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\right\}$.

Partie I

1) Montrer que $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb{R}),+)$.

2) Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $(M_2(\mathbb{R}),+,\cdot)$.

3) a) Vérifier que : $\forall (x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4\ ;\ M(x,y)\times M(x',y')=M(xx'+3yy'\,,\,xy'+yx')$.

b) En déduire que $(E,+,\times)$ est un anneau commutatif et unitaire.

4) a) Vérifier que : $M(\sqrt{3},1)\times M(-\sqrt{3},1)=O$.

b) En déduire que $(E,+,\times)$ n'est pas un corps.

Partie II

Soient $F=\left\{x+y\sqrt{3}\ /\ (x,y)\in\mathbb{Q}^2\right\}$ et $G=\left\{M(x,y)=\begin{pmatrix}x+y&y\\2y&x-y\end{pmatrix}\ /\ (x,y)\in\mathbb{Q}^2\right\}$.

1) Montrer que : $\forall (x,y)\in\mathbb{Q}^2\ ;\ x+y\sqrt{3}=0$ si et seulement si $(x=0$ et $y=0)$.

2) Montrer que $F-\{0\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}^*,\times)$.

3) Soit $\varphi$ l'application définie de $F-\{0\}$ vers $E$ par : $\forall (x,y)\in\mathbb{Q}^2-\{(0,0)\}\ ;\ \varphi(x+y\sqrt{3})=M(x,y)$.

a) Vérifier que : $\varphi(F-\{0\})=G-\{O\}$.

b) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(F-\{0\},\times)$ vers $(E,\times)$.

c) En déduire que $(G-\{O\},\times)$ est un groupe commutatif.

4) Montrer que $(G,+,\times)$ est un corps commutatif.