Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2023 (Rattrapage)

Exercice 1 (10 points)

Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $I=[0,+\infty[$ par : $f_n(0)=0$ et $f_n(x)=\sqrt{x}\,(\ln x)^n$ pour tout $x\in\,]0,+\infty[$.

On note $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

Partie I

1-a) Vérifier que pour tout $x\in\,]0,+\infty[$ : $\sqrt{x}\,(\ln x)^n=(2n)^n\left(x^{\frac{1}{2n}}\ln\left(x^{\frac{1}{2n}}\right)\right)^n$, puis en déduire que $f_n$ est continue à droite en $0$.

b) Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f_n(x)$.

c) Vérifier que pour tout $x\in\,]0,+\infty[$ : $\dfrac{f_n(x)}{x}=\dfrac{(\ln x)^n}{\sqrt{x}}$, puis en déduire $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}$ et interpréter graphiquement le résultat.

d) Étudier, suivant la parité de $n$, la parité de la fonction $f_n$ (remarque : $f_n(1)=0$).

2-a) Montrer que pour tout $x\in\,]0,+\infty[$ : $f_n'(x)=\dfrac{(\ln x)^{n-1}}{2\sqrt{x}}\,(2n+\ln x)$.

b) En déduire que pour tout $x\ge 2$, $f_n'(x)\gt 0$ et résoudre dans $]0,+\infty[$ l'équation $f_n'(x)=0$.

c) Étudier, suivant la parité de $n$, les variations de $f_n$ et dresser son tableau de variations.

d) Montrer que si $n$ est impair et $n\ge 3$ alors le point d'abscisse $1$ est un point d'inflexion de $(C_n)$.

Partie II

Soit $\beta\in\,]1,e[$ un réel fixé.
On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $u_0=\beta$ et $u_{n+1}=f_2(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

1-a) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $0\lt u_n\lt\sqrt{e}$.

b) Montrer que $(u_n)$ est décroissante.

c) Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n$.

Partie III

Pour $x\in I$, on pose $F(x)=\displaystyle\int_{x}^{x^2} f_1(t)\,dt$.

1-a) Montrer que $f_1$ admet une primitive sur $I$.

b) À l'aide d'une double intégration par parties, montrer que pour tout $x\in\,]0,+\infty[$ : $F(x)=\dfrac{4}{9}x^3(3\ln x-1)-\dfrac{2}{9}x^{\frac{3}{2}}(3\ln x-2)$.

2-a) Calculer $F(e)$.

b) Calculer, en unités de volume, le volume du solide engendré par la rotation d'un tour complet de la courbe $(C_1)$ autour de l'axe des abscisses, sur l'intervalle $[0,1]$.

Exercice 2 (3,5 points)

Les parties I et II peuvent être traitées indépendamment.

Partie I. On considère dans $\mathbb{R}_+^2$ le système : $(S):\begin{cases}\sqrt{x}\left(1+\dfrac{1}{x+y}\right)=\dfrac{12}{5}\\ \sqrt{y}\left(1-\dfrac{1}{x+y}\right)=\dfrac{4}{5}\end{cases}$

1- Soit $(x,y)\in\mathbb{R}_+^2$ une solution du système $(S)$.
On pose $z=\sqrt{x}+i\sqrt{y}$.

a) Montrer que $z^2-\left(\dfrac{12}{5}+\dfrac{4}{5}i\right)z+1=0$, puis en déduire les valeurs possibles de $z$. (On remarque que le discriminant vaut $\dfrac{28}{25}+\dfrac{96}{25}i=\left(\dfrac{2}{5}(4+3i)\right)^2$.)

b) En déduire dans $\mathbb{R}_+^2$ le couple $(x,y)$.

2- Résoudre dans $\mathbb{R}_+^2$ le système $(S)$.

Partie II. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
Soit $(\Gamma)$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, et $A(a)$, $B(b)$, $C(c)$ trois points de $(\Gamma)$.

1- Montrer que pour tout $z\in\mathbb{C}^*$ : $|z|=1\iff z=\dfrac{1}{\bar{z}}$.

2-a) La droite passant par $A$ et parallèle à $(BC)$ coupe $(\Gamma)$ en $P(p)$.
Montrer que $p=\dfrac{bc}{a}$.

b) La droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(BC)$ coupe $(\Gamma)$ en $Q(q)$.
Montrer que $q=-\dfrac{bc}{a}$.

c) La droite passant par $C$ et parallèle à $(AB)$ coupe $(\Gamma)$ en $R(r)$.
Montrer que $r=\dfrac{ab}{c}$, puis montrer que les droites $(RP)$ et $(RQ)$ sont perpendiculaires.

Exercice 3 (3,5 points)

On rappelle que $(M_3(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire d'unité la matrice identité $I$.
On considère l'ensemble $E=\{M(a,b,c)\ ;\ (a,b,c)\in\mathbb{R}^3\}$ des matrices de $M_3(\mathbb{R})$ associées à un triplet $(a,b,c)$, et l'application $\varphi$ définie de $E$ vers $\mathbb{C}\times\mathbb{R}$ par $\varphi\big(M(a,b,c)\big)=(a+ib,\,c)$.

On munit $\mathbb{C}\times\mathbb{R}$ des deux lois $*$ et $T$ définies pour tous $(z,x),(z',x')$ de $\mathbb{C}\times\mathbb{R}$ par : $(z,x)*(z',x')=(z+z',\,x+x')$ et $(z,x)\,T\,(z',x')=(z\,z',\,x\,\mathrm{Re}(z')+x'\,\mathrm{Re}(z))$, où $\mathrm{Re}(z)$ désigne la partie réelle de $z$.

1- Montrer que $E$ est un sous-groupe de $(M_3(\mathbb{R}),+)$.

2- Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(E,+)$ vers $(\mathbb{C}\times\mathbb{R},*)$ et que $\varphi(E)=\mathbb{C}\times\mathbb{R}$.

3-a) Montrer que $T$ est commutative. b) Vérifier que $(1,1)$ est l'élément neutre de $T$. c) Vérifier que $T$ est associative et distributive sur $*$.

4- Soit $G=\{(z,\mathrm{Im}(z))\ ;\ z\in\mathbb{C}^*\}$ (où $\mathrm{Im}(z)$ est la partie imaginaire de $z$). a) Montrer que $(G,*)$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}\times\mathbb{R},*)$. b) Soit $\psi$ l'application de $\mathbb{C}^*$ vers $G$ qui à $z$ associe $\psi(z)=(z,\mathrm{Im}(z))$ ; montrer que $\psi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{C}^*,\times)$ vers $(G,T)$. c) En déduire que $(G,T)$ est un groupe commutatif.

5- Montrer que $(\mathbb{C}\times\mathbb{R},*,T)$ est un corps commutatif (structure transportée par $\varphi$).

Remarque : les lois exactes de cet exercice sont en partie masquées par le filigrane sur le sujet ; la reconstitution ci-dessus respecte la structure (matrices $3\times3$, isomorphisme avec $\mathbb{C}\times\mathbb{R}$, corps commutatif).

Exercice 4 (3 points)

Soit $p$ un nombre premier impair.
On pose $S=1+p+p^2+\cdots+p^{q-1}$, où $q$ est un nombre premier impair.

1-a) Montrer que $p$ et $q$ sont premiers entre eux.

b) En déduire que $p^{q-1}\equiv 1\ [q]$.

c) Vérifier que $p^q\equiv p\ [q]$ et en déduire $(p-1)S\equiv p-1\ [q]$.

2- On suppose que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. a) En utilisant le théorème de Bézout, montrer que $p-1$ est inversible modulo $q$. b) En déduire que $S\equiv 1\ [q]$.

3- Montrer que $q\mid 1$ est impossible ; conclure sur les diviseurs premiers de $S$.