Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2024 (Normale)

EXERCICE 1 (7,5 points)

Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[1,+\infty[$ par :

$f(1)=\dfrac{1}{2}$ et pour tout $x\in\,]1,+\infty[$, $\;f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^2-1}$.

Soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1) Montrer que $f$ est continue à droite en $1$.

2) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

3) Soit $x\in\,]1,+\infty[$.

a) En posant $t=(x-1)^2$, vérifier que : $\dfrac{1-x+\ln(x)}{(x-1)^2}=\dfrac{-\sqrt{t}+\ln(1+\sqrt{t})}{t}$.

b) Montrer que $\left(\forall t\in\,]0,+\infty[\right),\; -\dfrac{1}{2}\lt \dfrac{-\sqrt{t}+\ln(1+\sqrt{t})}{t}\lt \dfrac{-1}{2(1+\sqrt{t})}$.

(On pourra utiliser le théorème des accroissements finis sur l'intervalle $[0;t]$)

c) En déduire que : $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}\dfrac{1-x+\ln(x)}{(x-1)^2}=-\dfrac{1}{2}$.

4) a) Montrer que : $\forall x\in\,]1,+\infty[$, $\;\dfrac{f(x)-\dfrac{1}{2}}{x-1}=-\dfrac{\ln(x)}{x-1}\times\dfrac{1}{2(x+1)}+\dfrac{\ln(x)-x+1}{2(x-1)^2}$.

b) En déduire que $f$ est dérivable à droite en $1$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

5) Pour tout $x\in[1,+\infty[$ on pose $I(x)=\displaystyle\int_1^x\dfrac{t^2-1}{t^3}\,dt$ et $J(x)=\displaystyle\int_1^x\dfrac{t^2-1}{t^2}\,dt$.

a) Montrer que : $\forall x\in[1,+\infty[$, $\;0\le I(x)\le J(x)$.

b) Montrer que pour tout $x\in[1,+\infty[$, $\;I(x)=\ln(x)-\dfrac{x^2-1}{2x^2}$ et $J(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x}$.

c) Montrer que : $\forall x\in\,]1,+\infty[$, $\;f'(x)=\dfrac{-2}{(x+1)^2}\times\dfrac{I(x)}{J(x)}$.

d) En déduire que : $\forall x\in\,]1,+\infty[$, $\;-\dfrac{1}{2}\le f'(x)\le 0$.

6) a) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

b) Tracer la courbe $(C)$. (On prendra $\|\vec{i}\|=1\,\text{cm}$ et $\|\vec{j}\|=2\,\text{cm}$.)

7) Montrer que l'équation $f(x)=x-1$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1,2]$.

8) Soit $(a_n)_{n\ge 0}$ la suite numérique définie par : $a_0\in[1,+\infty[$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\;a_{n+1}=1+f(a_n)$.

a) Montrer que : $\forall n\in\mathbb{N}$, $\;|a_{n+1}-\alpha|\le\dfrac{1}{2}|a_n-\alpha|$.

b) Montrer par récurrence que : $\forall n\in\mathbb{N}$, $\;|a_n-\alpha|\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n|a_0-\alpha|$.

c) En déduire que la suite $(a_n)_{n\ge 0}$ est convergente.

EXERCICE 2 (2,5 points)

Soit $F$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0;1]$ par : $F(x)=\displaystyle\int_0^x e^{t^2}\,dt$.

1) a) Montrer que $F$ est continue, strictement croissante sur $[0;1]$.

b) En déduire que $F$ est une bijection de $[0;1]$ vers $[0;\beta]$ avec $\beta=\displaystyle\int_0^1 e^{t^2}\,dt$.

2) On note $F^{-1}$ la bijection réciproque de $F$. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on pose : $S_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{k=n}F^{-1}\!\left(\dfrac{k}{n}\beta\right)$.

a) Montrer que la suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est convergente de limite $\ell=\dfrac{1}{\beta}\displaystyle\int_0^\beta F^{-1}(t)\,dt$.

b) Montrer que $\ell=\dfrac{1}{\beta}\displaystyle\int_0^1 u\,e^{u^2}\,du$. (On pourra effectuer le changement de variable $u=F^{-1}(t)$.)

c) En déduire que : $\ell=\dfrac{e-1}{2\beta}$.

EXERCICE 3 (3,5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ :

$(E_\alpha):\;z^2-2iz+\alpha=0\quad$ où $\alpha\in\mathbb{C}$.

Partie I :

1) a) Montrer que le discriminant de l'équation $(E_\alpha)$ est $\Delta=-4(1+\alpha)$.

b) Déterminer l'ensemble des valeurs $\alpha$ pour lesquelles l'équation $(E_\alpha)$ admet dans l'ensemble $\mathbb{C}$ deux solutions distinctes.

2) On note $z_1$ et $z_2$ les deux solutions de l'équation $(E_\alpha)$.
Déterminer $z_1+z_2$ et $z_1z_2$.

Partie II :

Soient $\Omega$, $M_1$ et $M_2$ les points d'affixes respectivement $\alpha$, $z_1$ et $z_2$ avec $z_1\ne z_2$.

1) On suppose que $\alpha=m^2-2m$ avec $m\in\mathbb{R}$.

a) Déterminer $z_1$ et $z_2$ en fonction de $m$.

b) En déduire que les points $O$, $M_1$ et $M_2$ sont alignés.

2) On suppose que les points $O$, $M_1$ et $M_2$ ne sont pas alignés.

a) Montrer que $\dfrac{z_1}{z_2}$ est un imaginaire pur si et seulement si $Re(z_1\overline{z_2})=0$.

b) Montrer que : $|z_1-z_2|^2=|z_1+z_2|^2-4Re(z_1\overline{z_2})$.

c) En déduire que $\dfrac{z_1}{z_2}$ est un imaginaire pur si et seulement si $|z_1-z_2|=2$.

3) a) Montrer que : $(z_1-z_2)^2=\Delta$.

b) Déterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $\Omega$ pour que le triangle $OM_1M_2$ soit rectangle en $O$.

EXERCICE 4 (3,5 points)

On considère dans $\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*$ la loi de composition interne $T$ définie par :

$\forall\bigl((a,b),(c,d)\bigr)\in\left(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*\right)^2$ ; $\;(a,b)\,T\,(c,d)=\left(a\overline{d}+c,\,bd\right)$

($\overline{d}$ étant le conjugué du nombre complexe $d$).

1) a) Vérifier que $(i,2)\,T\,(1,i)=(2,2i)$, puis calculer $(1,i)\,T\,(1,2)$.

b) En déduire que la loi $T$ n'est pas commutative dans $\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*$.

2) Montrer que la loi $T$ est associative dans $\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*$.

3) Vérifier que $(0,1)$ est l'élément neutre pour $T$ dans $\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*$.

4) a) Vérifier que $\forall(a,b)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*$ ; $\;(a,b)\,T\!\left(-\dfrac{a}{\overline{b}},\dfrac{1}{b}\right)=(0,1)$.

b) Montrer que $\left(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*,T\right)$ est un groupe non commutatif.

5) a) Montrer que $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^*$ est stable par la loi de composition interne $T$.

b) Montrer que $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^*$ est un sous-groupe du groupe $\left(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*,T\right)$.

EXERCICE 5 (3 points)

Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts et $r$ un entier naturel premier avec $p$ et avec $q$.

1) a) Montrer que $p$ divise $r^{p-1}-1$ et que $q$ divise $r^{q-1}-1$.

b) En déduire que $p$ et $q$ divisent $r^{(p-1)(q-1)}-1$.

c) Montrer que $pq$ divise $r^{(p-1)(q-1)}-1$.

2) Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $2024^{192}\,x\equiv 3\;[221]$ (On donne : $221=13\times17$).