Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2024 (Rattrapage)

Exercice 1 (Analyse)

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
On considère la fonction numérique $f_n$ définie sur $[0,+\infty[$ par : $f_n(0)=0$ et $(\forall x\in\,]0,+\infty[)\;\; f_n(x)=x-x^n\ln x$.
On note $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) a) Montrer que $f_n$ est continue à droite en $0$.

b) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f_n(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=-\infty$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

c) Montrer que $f_n$ est dérivable à droite en $0$ et que son nombre dérivé à droite en $0$ est égal à $1$.

d) Montrer que $f_n$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et que : $(\forall x\in\,]0,+\infty[)\;\; f_n{}'(x)=1-x^{n-1}-nx^{n-1}\ln x$.

e) Montrer que $f_n$ est strictement croissante sur $[0,1]$ et strictement décroissante sur $[1,+\infty[$.

2) a) Montrer que pour tout entier $n\ge 2$ : $(\forall x\in[0,+\infty[)\;\; f_{n+1}(x)\le f_n(x)$.

b) En déduire la position relative des deux courbes $(C_n)$ et $(C_{n+1})$.

3) a) Montrer que pour tout entier $n\ge 2$, il existe un unique réel $\alpha_n\in\,]1,2[$ tel que : $f_n(\alpha_n)=0$. (On prendra $\ln 2 \simeq 0{,}7$.)

b) Vérifier que $(\forall n\ge 2)\;\; \alpha_n^{\,n-1}\ln\alpha_n=1$.

c) En déduire que pour tout $n\ge 2$ : $f_n(\alpha_{n+1})\le -1$.

d) En déduire que la suite $(\alpha_n)_{n\ge 2}$ ainsi définie est strictement décroissante.

e) En déduire que la suite $(\alpha_n)_{n\ge 2}$ est convergente.

4) On pose : $\ell=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\alpha_n$.

a) Montrer que : $1\le \ell\le 2$.

b) Montrer que pour tout $n\ge 2$ : $n-1=-\dfrac{\ln(\ln(\alpha_n))}{\ln(\alpha_n)}$.

c) On suppose que $\ell\gt 1$.
Calculer $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\ln(\ln(\alpha_n))}{\ln(\alpha_n)}$ en fonction de $\ell$.

d) En déduire la valeur de la limite $\ell$.

Exercice 2 (Analyse)

1) a) Calculer l'intégrale : $\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}\,dx$.

b) Pour tout entier $n\ge 1$, on pose : $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n}{n^2+k^2}$.
Montrer que la suite $(u_n)_{n\ge 1}$ est convergente puis déterminer sa limite.

2) Montrer que : $\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{\left(1+x^2\right)^2}\,dx\le 1$.

3) a) Montrer que : $(\forall x\in[0,1])\;\; 0\le e^x-1\le e\,x$.

b) En déduire que : $(\forall x\in[0,1])\;\; 0\le e^x-1-x\le \dfrac{e}{2}x^2$.

4) Pour tout entier $n\ge 1$, on pose : $w_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(e^{\frac{n}{n^2+k^2}}-1\right)$.

a) Montrer que pour tout entier $n\ge 1$ : $0\le w_n-u_n\le \dfrac{e}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{n}{n^2+k^2}\right)^2$.

b) Montrer que la fonction $x\mapsto \left(1+x^2\right)^{-2}$ est strictement décroissante sur $[0,1]$.

c) En déduire que pour tout entier $n\ge 1$ et pour tout entier $k\in\{1,2,\dots,n\}$ : $\dfrac{1}{n}\left(1+\left(\dfrac{k}{n}\right)^2\right)^{-2}\le \displaystyle\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(1+x^2\right)^{-2}\,dx$.

5) a) Montrer que pour tout entier $n\ge 1$ : $0\le w_n-u_n\le \dfrac{e}{2n}$.

b) En déduire que la suite $(w_n)_{n\ge 1}$ est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 3 (Nombres complexes)

Soit $m\in\mathbb{C}^*$.

Partie I : On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E)\;:\; z^2-(2+i)mz+m^2(1+i)=0$.

1) a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta=(im)^2$.

b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$.

2) Soient $z_1$ et $z_2$ les deux solutions de $(E)$. Mettre sous la forme exponentielle $z_1z_2$ dans le cas où $m=re^{i\theta}$ ($r\in\mathbb{R}_+^*$, $\theta\in\mathbb{R}$).

Partie II : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$.
On pose $z_3=m$ et $z_4=m(1+i)$.
Soit $M_1$ le point d'affixe $z_1$, $M_2$ le point d'affixe $z_2$ et $M_3(z_3)$ l'image du point $O$ par la rotation de centre $M_2$ et d'angle $\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$, $M_4(z_4)$ l'image du point $M_1$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ ($k\in\mathbb{R}^*\setminus\{1\}$).

1) Calculer $z_3$ en fonction de $m$ et $z_4$ en fonction de $m$ et $k$.

2) Donner la forme algébrique de $\dfrac{z_4-z_2}{z_4-z_1}\times\dfrac{z_3-z_1}{z_3-z_2}$.

3) En déduire que les points $M_1$, $M_2$, $M_3$ et $M_4$ sont cocycliques si et seulement si $k=-2$.

Exercice 4 (Structures algébriques)

On munit l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes de la loi de composition interne $*$ définie par : $\forall (x,x',y,y')\in\mathbb{R}^4$, $(x+iy)*(x'+iy')=(xy'+y^5x')+iyy'$.

Partie I :

1) a) Vérifier que : $1*2i=2$.

b) Montrer que la loi de composition interne $*$ n'est pas commutative.

2) Montrer que la loi $*$ est associative.

3) a) Vérifier que : $1*(1+2i)=2$.

b) En déduire que $(\mathbb{C},*)$ n'est pas un groupe.

4) Soit $E$ le sous-ensemble de $\mathbb{C}$ défini par $E=\{x+yi\,/\,x\in\mathbb{R}\text{ et }y\in\mathbb{R}^*\}$.

a) Montrer que $E$ est stable dans $(\mathbb{C},*)$.

b) Montrer que $(E,*)$ est un groupe non commutatif.

Partie II :

On considère les sous-ensembles de $E$ définis par $F=\{yi\,/\,y\in\mathbb{R}^*\}$ et $G=\{x+i\,/\,x\in\mathbb{R}\}$.

1) Montrer que $F$ est un sous-groupe de $(E,*)$.

2) On considère l'application $\varphi$ définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{C}$ par : $(\forall x\in\mathbb{R})\;\; \varphi(x)=x+i$.

a) Montrer que : $\varphi(\mathbb{R})=G$.

b) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ vers $(\mathbb{C},*)$.

c) En déduire que $(G,*)$ est un groupe commutatif.

Exercice 5 (Arithmétique)

1) En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer l'entier $u\in\{1,2,\dots,22\}$ tel que : $10u\equiv 1\;[23]$.

2) Soient $m$ un entier naturel et $q$ et $r$, respectivement, le quotient et le reste de la division euclidienne de $m$ par $10$.

a) Montrer que : $m\equiv 10(q+u\,r)\;[23]$.

b) Montrer que : $23$ divise $m\iff 23$ divise $(q+u\,r)$.

3) On considère dans $\mathbb{N}$ le système $(S)\;:\;\begin{cases}x\equiv 1\;[23]\\ x\equiv 2\;[10]\end{cases}$

a) Montrer que si $x$ est une solution du système $(S)$ alors il existe $q\in\mathbb{N}$ tel que $x=10q+2$ et $23$ divise $(q+7)$.

b) Résoudre dans $\mathbb{N}$ le système $(S)$.