Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2025 (Normale)
Sujet officiel de l'examen national de mathématiques, 2ème Bac Sciences Maths, session normale 2025. Énoncé + corrigé détaillé.
EXERCICE 1 (10 points)
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{2x}+e}$ et soit $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O\,;\vec{i},\vec{j})$.
Partie I :
1) a) Montrer que : $(\forall x\in\mathbb{R})\ ;\ f(1-x)=f(x)$.
b) Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c) Calculer $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ puis en déduire $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$.
d) Interpréter graphiquement les deux résultats obtenus.
2) a) Montrer que : $(\forall x\in\mathbb{R})\ ;\ f'(x)=f(x)\dfrac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}}$.
b) Donner les variations de $f$ puis en déduire que : $(\forall x\in\mathbb{R})\ ;\ 0\lt f(x)\lt \dfrac{1}{2}$.
3) Représenter graphiquement la courbe $(\Gamma)$. (On prendra $\lVert\vec{i}\rVert=1\,\mathrm{cm}$, $\lVert\vec{j}\rVert=2\,\mathrm{cm}$ et $\dfrac{1}{2\sqrt{e}}\simeq 0{,}30$ et $\dfrac{1}{1+e}\simeq 0{,}27$.)
4) a) Montrer que : $\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)\,dx=\int_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)\,dx$.
b) En déduire que : $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx=2\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)\,dx$.
5) a) En effectuant le changement de variables $t=e^{x}$, montrer que : $\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)\,dx=\int_{1}^{\sqrt{e}}\dfrac{dt}{t^{2}+e}$.
b) Montrer que : $\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)\,dx=\dfrac{1}{\sqrt{e}}\left(\arctan(\sqrt{e})-\dfrac{\pi}{4}\right)$.
c) En déduire l'aire, en $\mathrm{cm}^{2}$, du domaine plan délimité par $(\Gamma)$, les droites d'équations respectives $x=0$, $x=1$ et $y=0$.
Partie II :
On considère la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $u_{0}\in\left]0;\dfrac{1}{2}\right[$ et $(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ u_{n+1}=f(u_{n})$.
1) En utilisant le résultat de la question I.2-a, montrer que : $(\forall x\in\mathbb{R})\ ;\ \lvert f'(x)\rvert\le f(x)$.
2) a) Montrer que : $\left(\forall x\in\left[0;\dfrac{1}{2}\right]\right)\ ;\ 0\le f'(x)\lt \dfrac{1}{2}$.
b) Montrer que la fonction $g:x\mapsto g(x)=f(x)-x$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
c) En déduire qu'il existe un unique réel $\alpha\in\left]0;\dfrac{1}{2}\right]$ tel que $f(\alpha)=\alpha$.
3) a) Montrer que : $(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ 0\lt u_{n}\lt \dfrac{1}{2}$.
b) Montrer que : $(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ \lvert u_{n+1}-\alpha\rvert\le\dfrac{1}{2}\lvert u_{n}-\alpha\rvert$.
c) Montrer par récurrence que : $(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ \lvert u_{n}-\alpha\rvert\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$.
d) En déduire que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$.
Partie III :
On considère la suite numérique $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ définie par : $(\forall n\in\mathbb{N}^{*})\ ;\ S_{n}=\dfrac{1}{n(n+1)}\displaystyle\sum_{k=1}^{k=n}\dfrac{k}{e^{\frac{k}{n}}+e^{\frac{n-k}{n}}}$.
1) a) Vérifier que : $(\forall n\in\mathbb{N}^{*})\ ;\ S_{n}=\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=1}^{k=n}\dfrac{k}{n}\,f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$.
b) Montrer que : $\displaystyle\int_{0}^{1}x\,f(x)\,dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)\,dx$. (On pourra effectuer le changement de variables $t=1-x$.)
2) Montrer que la suite $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ est convergente et déterminer sa limite.
EXERCICE 2 (3,5 points)
Soit $\alpha\in[0;2\pi[$.
On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation $(E_{\alpha})$ d'inconnue $z$ :
$(E_{\alpha})\ :\ z^{2}-2^{\alpha}e^{i\alpha}(1+2i)z+i\,2^{2\alpha+1}e^{2i\alpha}=0$
Partie I :
1) a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E_{\alpha})$ est : $\Delta_{\alpha}=\left(2^{\alpha}e^{i\alpha}(1-2i)\right)^{2}$.
b) En déduire les deux solutions $a$ et $b$ de l'équation $(E_{\alpha})$ avec $\lvert a\rvert\lt\lvert b\rvert$.
2) Vérifier que $\dfrac{b}{a}$ est un imaginaire pur.
Partie II :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\,;\vec{u},\vec{v})$.
On note par $M(z)$ le point d'affixe le nombre complexe $z$.
On pose $\dfrac{b}{a}=\lambda i$ avec $\lambda=\operatorname{Im}\!\left(\dfrac{b}{a}\right)$.
1) On considère les points $A(a)$, $B(b)$ et $H(h)$ avec $\dfrac{1}{h}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$.
a) Montrer que : $\dfrac{h}{b-a}=-\left(\dfrac{\lambda}{\lambda^{2}+1}\right)i$ puis en déduire que les droites $(OH)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.
b) Montrer que : $\dfrac{h-a}{b-a}=\dfrac{1}{\lambda^{2}+1}$ puis en déduire que les points $H$, $A$ et $B$ sont alignés.
2) Soient $I(m)$ le milieu du segment $[OH]$ et $J(n)$ le milieu du segment $[HB]$.
a) Montrer que : $\dfrac{n}{m-a}=-\lambda i$.
b) En déduire que les droites $(OJ)$ et $(AI)$ sont perpendiculaires et que $OJ=\lvert\lambda\rvert\,AI$.
c) Soit $K$ le point d'intersection des droites $(OJ)$ et $(AI)$.
Montrer que les points $K$, $I$, $H$ et $J$ sont cocycliques.
d) Montrer que les droites $(IJ)$ et $(OA)$ sont perpendiculaires.
EXERCICE 3 (3 points)
Soient $p$ un nombre premier impair et $a$ un entier premier avec $p$.
1) Montrer que $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p]$ ou $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\ [p]$.
2) On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation : $ax^{2}\equiv 1\ [p]$.
Soit $x_{0}$ une solution de cette équation.
a) Montrer que : $x_{0}^{\,p-1}\equiv 1\ [p]$.
b) En déduire que : $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p]$.
3) Soit $n$ un entier naturel non nul.
a) Montrer que si $p$ divise $2^{2n+1}-1$ alors $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p]$.
b) En déduire que l'équation $(E)\ :\ 11x+\left(2^{2n+1}-1\right)y=1$ admet au moins une solution dans $\mathbb{Z}^{2}$.
4) On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(F)\ :\ x^{2}+5x+2\equiv 0\ [11]$.
a) Montrer que : $(F)\iff 2(2x+5)^{2}\equiv 1\ [11]$.
b) En déduire que l'équation $(F)$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{Z}$.
EXERCICE 4 (3,5 points)
On rappelle que $(M_{3}(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire et non commutatif, de zéro la matrice $O=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ et d'unité la matrice $I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, et que $(M_{3}(\mathbb{R}),+,\cdot)$ est un espace vectoriel réel.
Soient la matrice $A=\begin{pmatrix}-1&-1&0\\-1&-1&0\\-1&1&-2\end{pmatrix}$ et l'ensemble $E=\{M(x)=I+xA\ /\ x\in\mathbb{R}\}$.
1) a) Vérifier que : $A^{2}=-2A$.
b) En déduire que : $\forall(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ ;\ M(x)\times M(y)=M(x+y-2xy)$.
2) a) Calculer $M\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\times\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
b) En déduire que la matrice $M\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$ n'est pas inversible dans $(M_{3}(\mathbb{R}),\times)$.
3) Montrer que $E-\left\{M\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\right\}$ est stable pour la multiplication dans $M_{3}(\mathbb{R})$. (On pourra utiliser l'identité : $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(y-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{-1}{2}\left(x+y-2xy-\dfrac{1}{2}\right)$.)
4) Montrer que $\left(E-\left\{M\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\right\},\times\right)$ est un groupe commutatif.
5) On munit $E$ de la loi de composition interne $T$ définie par : $\forall(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ ;\ M(x)\,T\,M(y)=M\!\left(x+y-\dfrac{1}{2}\right)$ et on considère l'application $\varphi$ définie de $\mathbb{R}$ vers $E$ par : $\forall x\in\mathbb{R}\ ;\ \varphi(x)=M\!\left(\dfrac{1-x}{2}\right)$.
a) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ vers $(E,T)$ et que $\varphi(\mathbb{R})=E$.
b) En déduire que $(E,T)$ est un groupe commutatif.
6) Montrer que $(E,T,\times)$ est un corps commutatif.