Examen national — 2BAC Sciences Maths — 2025 (Rattrapage)
Sujet officiel de l'examen national de mathématiques, 2ème Bac Sciences Maths, session de rattrapage 2025. Énoncé + corrigé détaillé.
Partie I :
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=[0,+\infty[$ par :
$f(0)=0$ et $f(x)=\dfrac{x^2\ln x}{x^2+1}$ si $x\in\,]0,+\infty[$
Et soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
1-a) Étudier la continuité de $f$ à droite en $0$.
b) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c) Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2- Soit $\varphi$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par : $\varphi(x)=x^2+1+2\ln x$.
a) Dresser le tableau de variations de $\varphi$.
b) Montrer que l'équation $\varphi(x)=0$ admet une solution unique $\beta$ appartenant à l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right[$. (On donne $\ln 2\simeq 0.7$ et $\ln 3\simeq 1.1$.)
c) Montrer que $f(\beta)=-\dfrac{\beta^2}{2}$.
3-a) Montrer que $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et que $\forall x\in\,]0,+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{x\varphi(x)}{(x^2+1)^2}$.
b) Donner le tableau de variations de $f$.
c) Montrer que $\dfrac{1}{\beta}$ est l'unique solution de l'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ sur $]\beta,+\infty[$.
d) Montrer que la droite d'équation $y=\beta x-\dfrac{1}{2}$ est la tangente à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{\beta}$.
4- Représenter graphiquement la courbe $(C)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$. (On admet que la courbe $(C)$ possède deux points d'inflexion.)
Partie II :
On pose $J=\,]\sqrt{3};2[$ et $\alpha=\dfrac{1}{\beta}$.
Soit $g$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par : $g(x)=\sqrt{e^{1+\frac{1}{x^2}}}$.
1-a) Étudier les variations de $g$.
b) Montrer que $(\forall x\in J)$, $\sqrt{3}\lt g(x)\lt 2$. (On donne $\sqrt{3}\simeq 1.73$, $e^{\frac{2}{3}}\simeq 1.95$ et $e^{\frac{5}{8}}\simeq 1.87$.)
2-a) En utilisant le résultat de la question I.3-c), montrer que $g(\alpha)=\alpha$.
b) Montrer que $(\forall x\in J)$, $|g'(x)|\le\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$.
c) En déduire que $(\forall x\in J)$, $|g(x)-\alpha|\le\dfrac{2}{3\sqrt{3}}|x-\alpha|$.
3- On considère la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $x_0=\dfrac{7}{4}$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $x_{n+1}=g(x_n)$.
a) Montrer que $(\forall n\in\mathbb{N})$, $x_n\in J$.
b) Montrer par récurrence que $(\forall n\in\mathbb{N})$, $|x_n-\alpha|\le\left(\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\right)^n|x_0-\alpha|$.
c) En déduire que la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$.
On considère la suite numérique $(u_n)_{n\ge 2}$ définie par : $(\forall n\ge 2)$, $u_n=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\ln\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$.
1- Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
a) Montrer que pour tout entier $k\in\{1,2,\dots,n-1\}$ et pour tout réel $x\in\left[\dfrac{k}{n};\dfrac{k+1}{n}\right]$, on a : $\ln\!\left(\dfrac{k}{n}\right)\le\ln(x)\le\ln\!\left(\dfrac{k+1}{n}\right)$.
b) En déduire que $\forall k\in\{1,2,\dots,n-1\}$, $\dfrac{1}{n}\ln\!\left(\dfrac{k}{n}\right)\le\displaystyle\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}\ln(x)\,dx\le\dfrac{1}{n}\ln\!\left(\dfrac{k+1}{n}\right)$.
2-a) Montrer que $(\forall n\ge 2)$, $\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\ln\!\left(\dfrac{k}{n}\right)\le\displaystyle\int_{\frac{1}{n}}^{1}\ln(x)\,dx\le\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=2}^{n}\ln\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$.
b) En déduire que $(\forall n\ge 2)$, $u_n\le\displaystyle\int_{\frac{1}{n}}^{1}\ln(x)\,dx\le u_n-\dfrac{1}{n}\ln\!\left(\dfrac{1}{n}\right)$.
c) Montrer que $(\forall n\ge 2)$, $-1+\dfrac{1}{n}\le u_n\le -1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n}\ln\!\left(\dfrac{1}{n}\right)$.
d) Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n$.
Soit $\theta\in[0,\pi[$.
Partie I :
On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E_\theta)$ d'inconnue $z$ : $\;(E_\theta):\;z^2+(1-i)e^{i\theta}z-ie^{2i\theta}=0$.
1-a) Vérifier que $(E_\theta)\iff\left(2z+(1-i)e^{i\theta}\right)^2=\left((1+i)e^{i\theta}\right)^2$.
b) En déduire les deux solutions $z_1$ et $z_2$ de l'équation $(E_\theta)$ avec $\operatorname{Im}(z_1)\le 0$.
2-a) Montrer que $\dfrac{z_1+1}{z_2+i}=-\tan\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$.
b) En déduire la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{z_1+iz_2}{z_2+i}$.
Partie II :
Dans le plan complexe $P$ muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=e^{i\theta}$, $b=(1+i)e^{i\theta}$ et $c=b-a$.
Soit $m$ un nombre réel de $]0,1[$, $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et le point $Q$ d'affixe $q=me^{i\theta}$.
1-a) Déterminer l'affixe $p$ du point $P$ image du point $Q$ par la rotation $R$.
b) Vérifier que $R(A)=C$.
2- Soit $H$ le point d'affixe $h=\dfrac{m}{m-i}e^{i\theta}$.
a) Montrer que $\dfrac{p-a}{h}=\dfrac{m^2+1}{m}i$ et $\dfrac{h-a}{p-a}=\dfrac{1}{m^2+1}$.
b) En déduire que $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur la droite $(AP)$.
c) Montrer que $\dfrac{b-h}{q-h}=\dfrac{1}{m}i$.
d) En déduire que les droites $(QH)$ et $(HB)$ sont perpendiculaires.
e) Montrer que les points $A$, $Q$, $H$ et $B$ sont cocycliques.
On considère dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(E)$ : $\;y=\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{d}$, où $a,b,c$ et $d$ sont des entiers naturels non nuls vérifiant : $a\wedge b=c\wedge d=1$.
1- On suppose que l'équation $(E)$ admet une solution $(x_0,y_0)$.
a) Montrer que $d$ divise $bc$.
b) En déduire que $d$ divise $b$.
2- On suppose que $d$ divise $b$ et on pose $b=nd$ où $n$ est un entier naturel non nul.
a) Montrer qu'il existe $(u,v)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tel que $dnu-av=1$.
b) En déduire que l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ est $S=\big\{(-vcn+bk\,;\,-ucn+ak)\,/\,k\in\mathbb{Z}\big\}$.
3- Résoudre dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(F)$ : $\;y=\dfrac{3}{2975}x-\dfrac{2}{119}$. (On donne $2975=119\times 25$.)
On rappelle que $(M_3(\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau unitaire non commutatif, de zéro la matrice $O=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ et d'unité la matrice $I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
On munit l'ensemble $E=\{x+yi\,/\,x\in\mathbb{Z}\text{ et }y\in\mathbb{Z}\}$ par la loi de composition interne $*$ définie par : $\forall(x,y,x',y')\in\mathbb{Z}^4$, $\;(x+yi)*(x'+y'i)=\left(x+(-1)^y x'\right)+(y+y')i$.
Partie I :
1-a) Vérifier que $(1-i)*(3+2i)=-2+i$.
b) Montrer que la loi $*$ n'est pas commutative dans $E$.
2- Montrer que la loi $*$ est associative dans $E$.
3- Montrer que $0$ est l'élément neutre pour la loi $*$ dans $E$.
4-a) Vérifier que $\forall(x,y)\in\mathbb{Z}^2$, $(x+yi)*\left((-1)^{y+1}x-yi\right)=0$.
b) Montrer que $(E,*)$ est un groupe non commutatif.
Partie II :
Soient les deux ensembles $F=\{x+2yi\,/\,x\in\mathbb{Z}\text{ et }y\in\mathbb{Z}\}$ et $G=\left\{M(x,y)=\begin{pmatrix}1&x&y\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}/\,x\in\mathbb{Z}\text{ et }y\in\mathbb{Z}\right\}$.
1-a) Montrer que $F$ est un sous-groupe de $(E,*)$.
b) Montrer que la loi $*$ est commutative dans $F$.
2- Soit $\varphi$ l'application définie de $F$ vers $M_3(\mathbb{R})$ par : $\forall(x,y)\in\mathbb{Z}^2$, $\varphi(x+2yi)=M(x,y)$.
a) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(F,*)$ vers $(M_3(\mathbb{R}),\times)$.
b) Montrer que $\varphi(F)=G$.
c) En déduire que $(G,\times)$ est un groupe commutatif.