Régional Souss-Massa 2022 - Normale

1) Calculer et simplifier :

• A = $\sqrt{16}$
• B = ($\sqrt{5}$)²
• C = $\sqrt{4}$.5 × $\sqrt{2}$
• D = $\sqrt{24}$ / $\sqrt{6}$

2) Rendre rationnel les dénominateurs des nombres suivants :

• E = 1 / $\sqrt{5}$
• F = -7 / ($\sqrt{3}$ + 1)

3) Développer et simplifier les expressions suivantes :

• G = ($\sqrt{11}$ + 5)²
• H = (2$\sqrt{5}$ - 1)²
• I = ($\sqrt{7}$ + 6)($\sqrt{7}$ - 6)

4) Soit x un nombre réel, Factoriser les expressions suivantes :

• J = $x^2$ + 6x + 9
• K = 5$x^2$ - 2$\sqrt{5}$ x + 1
• L = 7$x^2$ - 1

1-a) Comparer 3$\sqrt{5}$ et 4$\sqrt{3}$

b) Déduire la comparaison de : -5 / (1+3$\sqrt{5}$) et -5 / (1+4$\sqrt{3}$)

2) Soient x et y deux nombres réels tels que : 3 ≤ x ≤ 7 et -5 ≤ y ≤ -2. Encadrer : x + y ; x - y et xy.

3) Comparer $\sqrt{6}$ et $\sqrt{3}$ + $\sqrt{2}$ - 1.

I.
Soit ABC un triangle tel que : AB = $\sqrt{6}$, AC = $\sqrt{3}$ et BC = 3.

1) Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

2) Calculer les rapports trigonométriques de l’angle ABC.

3) Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC).

a) Montrer que AH = $\sqrt{2}$.

b) En utilisant le théorème de Pythagore, calculer BH.

II.
Soit x la mesure d'un angle aigu telle que : cos(x) = $\sqrt{3}$ / 2.

1) Calculer sin(x).

2) Déduire tan(x).

3) Soit α la mesure d'un angle aigu, montrer que: tan(α) × sin(α) = 1 / cos(α) - cos(α).

Soit EFG un triangle tel que : M ∈ [EG], N ∈ [EF], L ∈ [FG], (MN)//(FG)

1) En appliquant le théorème de Thalès sur le triangle EFG, calculer MN.

2) a) Calculer et comparer les deux rapports FL / FG et FN / FE.

b) En utilisant la réciproque du théorème de Thalès, montrer que (NL)//(EG).

4) La droite (EL) coupe le segment [MN] en O.
Montrer que : MG × OE = OL × ME.

A, B, D et C sont des points d'un cercle de centre O tel que : ∠ABC = 30°.

1) Calculer, en justifiant, la mesure de l'angle ∠ADC.