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Examen blanc — Tronc Commun n°1

Tronc Commun · 20 points · 4 questions

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Blanc

Examen blanc — Tronc Commun n°1

120 minutes 4 questions 20 points

Examen blanc original au format complet, Tronc Commun Scientifique. Corrigé détaillé.

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Question 1 · 5 pts

Exercice 1 — Équations, inéquations et systèmes (5 points)

On considère le trinôme $P(x) = 2x^2 - 7x + 3$.

  1. Calculer le discriminant $\Delta$ de $P(x)$, puis déterminer ses racines.
  2. Écrire $P(x)$ sous forme factorisée.
  3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $2x^2 - 7x + 3 \le 0$.
  4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\dfrac{2x^2 - 7x + 3}{x - 1} = 0$ (on précisera le domaine de validité).
  5. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système : $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases}$
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Question 2 · 5 pts

Exercice 2 — Étude d'une fonction (5 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4$.

  1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$.
  2. Étudier la parité de $f$.
  3. Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ de $[0\,;\, +\infty[$ tels que $a \lt b$, on a $f(a) \lt f(b)$.
    En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0\,;\, +\infty[$.
  4. Déterminer l'image de l'intervalle $[0\,;\, 3]$ par $f$.
  5. Déterminer le ou les antécédents de $5$ par $f$.
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Question 3 · 5 pts

Exercice 3 — Trigonométrie (5 points)

On travaille dans le cercle trigonométrique.
On donne $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$.

  1. Calculer $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ à l'aide de l'identité $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (on retrouvera la valeur donnée).
  2. Soit $x$ un réel tel que $\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $x \in \left[0\,;\, \dfrac{\pi}{2}\right]$.
    Déterminer $\sin x$, puis la valeur de $x$.
  3. Calculer $A = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \times \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.
  4. Résoudre dans $[0\,;\, 2\pi[$ l'équation $\sin x = \dfrac{1}{2}$.
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Question 4 · 5 pts

Exercice 4 — Géométrie analytique et produit scalaire (5 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\, \vec{i}\,,\, \vec{j})$.
On considère les points $A(1\,;\, 2)$, $B(4\,;\, 3)$ et $C(2\,;\, -1)$.

  1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
  2. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier à l'aide de la colinéarité.
  3. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
  4. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont-elles perpendiculaires ?
  5. Calculer la distance $AB$.