Examen blanc — Tronc Commun n°2

Exercice 1 — Arithmétique dans $\mathbb{N}$ (5 points)

On considère les deux entiers naturels $a = 504$ et $b = 360$.

1. Décomposer $a$ et $b$ en produit de facteurs premiers.
2. En déduire $\pgcd(a,b)$ et $\ppcm(a,b)$.
3. Vérifier que $\pgcd(a,b) \times \ppcm(a,b) = a \times b$.
4. On pose $n = 2^{4} \times 3 \times 5$. L'entier $n$ est-il un nombre premier ? Justifier, puis donner le nombre total de diviseurs positifs de $n$.

Exercice 2 — Polynômes et second degré (5 points)

On considère le polynôme $P(x) = 2x^{2} - 7x + 3$.

1. Calculer le discriminant $\Delta$ de $P(x)$.
2. En déduire les deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ de $P(x)$.
3. Vérifier les résultats à l'aide de la somme $S = x_{1} + x_{2}$ et du produit $\Pi = x_{1} \times x_{2}$ des racines.
4. Factoriser $P(x)$, puis dresser le tableau de signe de $P(x)$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 3 — Vecteurs et géométrie analytique (5 points)

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(1; 2)$, $B(5; 4)$ et $C(-1; 1)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier à l'aide de la colinéarité.
3. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
4. Calculer la distance $AB$, puis les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$.

Exercice 4 — Statistiques (5 points)

Lors d'un contrôle de mathématiques, les notes (sur $20$) obtenues par les $25$ élèves d'une classe sont résumées dans le tableau suivant :

1. Vérifier que l'effectif total est $25$, puis dresser le tableau des effectifs cumulés croissants.
2. Calculer la moyenne $\bar{x}$ de cette série.
3. Déterminer la médiane $Me$ de la série.
4. Calculer la variance $V$ puis l'écart-type $\sigma$ (arrondir l'écart-type à $0{,}01$ près).