Examen blanc — Tronc Commun n°3
Examen blanc original au format complet, Tronc Commun Scientifique. Corrigé détaillé.
Exercice 1 — Ensembles et logique (5 points)
On considère les ensembles suivants :
$A = [-3\,;\,2[$, $B = \left]-1\,;\,5\right]$ et $C = \{ x \in \mathbb{R} \ / \ |x| \le 4 \}$.
1. Écrire l'ensemble $C$ sous la forme d'un intervalle.
2. Déterminer puis représenter sur une droite graduée les ensembles suivants :
a. $A \cap B$ b. $A \cup B$ c. $A \setminus B$.
3. Déterminer $B \cap C$ et le complémentaire $\overline{B}$ de $B$ dans $\mathbb{R}$.
4. On considère la proposition :
$(P) : \ \forall x \in \mathbb{R}, \quad x \in A \Rightarrow x \in C$.
a. Montrer que la proposition $(P)$ est vraie.
b. Écrire la négation de $(P)$.
Exercice 2 — Étude d'une fonction (6 points)
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = x^2 - 4x + 1$.
On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})$.
1. Calculer $f(0)$, $f(2)$ et $f(4)$.
2. Montrer que pour tout réel $x$ : $f(x) = (x-2)^2 - 3$.
3. En déduire que $f$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$ ; préciser ce minimum et la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.
4. Étudier les variations de $f$ sur $\left]-\infty\,;\,2\right]$ puis sur $[2\,;\,+\infty[$, et dresser le tableau de variations.
5. Résoudre algébriquement l'équation $f(x) = 1$.
6. Déterminer graphiquement (en justifiant à l'aide des questions précédentes) le nombre de solutions de l'équation $f(x) = -3$ et de l'équation $f(x) = -5$.
Exercice 3 — Produit scalaire dans le plan (5 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})$.
On considère les points :
$A(1\,;\,2)$, $B(5\,;\,4)$ et $C(2\,;\,6)$.
1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, puis calculer les normes $\lVert \vec{AB} \rVert$ et $\lVert \vec{AC} \rVert$.
2. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
3. En déduire une valeur approchée au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
4. Déterminer la mesure algébrique du projeté orthogonal de $\vec{AC}$ sur la droite $(AB)$, c'est-à-dire $\dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\lVert \vec{AB} \rVert}$.
5. Déterminer une équation du cercle $(\Gamma)$ de diamètre $[AB]$.
Exercice 4 — Trigonométrie (4 points)
1. Sur le cercle trigonométrique, placer les points images des réels $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{2\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{4}$.
2. Calculer $A = \cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) - \cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$.
3. Résoudre dans $\left[0\,;\,2\pi\right[$ l'équation : $2\cos(x) - \sqrt{3} = 0$.
4. À l'aide d'une formule de transformation, montrer que pour tout réel $x$ :
$\cos\!\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) + \cos\!\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos(x)$.