Bac SM 2019 — Session Normale — 2ème Bac SM

1. Loi ★ sur ℂ : (x+yi)★(a+bi) = xa + (x²b+a²y)i. L'élément neutre de cette loi est :

2.
Soit E = {x+yi | x∈ℝ*₊, y∈ℝ}. Pour z=x+yi∈E (x>0), son symétrique pour ★ est :

3.
Soit φ: E→F défini par φ(x+yi)=M(x²,y) où M(x,y)=[[x,y],[0,x]]. Cette application est un isomorphisme de (E,★) vers (F,×) signifie que φ est :

4. Arithmétique (Ex.
3) : 2969 est premier. Si n⁸+m⁸≡0[2969] et 2969 ne divise pas n, on montre que (u×m)^2968 ≡ −1 [2969] ET ≡ 1 [2969] (Fermat). Quelle conclusion en tire-t-on ?

5. Exercice 4 — Analyse : f(x) = 4x(e⁻ˣ + x/2 − 1) sur ℝ.
Montrer que f'(x) = 4(e⁻ˣ−1)(1−x). Puis étudier le signe de f'.

6. Exercice 4 — Théorème de Rolle : f(0)=0 et f(1)=4·1·(e⁻¹+1/2−1)=4(e⁻¹−1/2). Peut-on appliquer Rolle à f' sur [0;1] ? Que conclut-on ?

7. Exercice 4 — Suite : u₀<α et $u_{n+1}$=$u_n$+f($u_n$).
Montrer que si 0≤u₀, alors ∀n∈ℕ, 0≤$u_n$. (Utiliser g(x)=e⁻ˣ+x/2−3/4 > 0 et f(x)+x=4x·g(x).)

8. Exercice 2 (Complexes) : Équation (E) : z²−(1+i)(1+m)z+2im=0.
Montrer que le discriminant Δ est non nul. Puis, si m=$e^{i\theta }$ avec 0<θ<π, montrer que z₁z₂∈ℝ implique z₁+z₂=2i.