Bac SM 2019 — Session Rattrapage — 2ème Bac SM

1.
Soit g(x) = 1+x²−2x(1+x)·ln(1+x) sur ]−1;+∞[. La limite de g(x) quand x→−1⁺ est :

2. f(x)=ln(1+x)/(1+x²). La dérivée f'(x)=g(x)/((1+x)(1+x²)²). Le signe de f'(x) est lié au signe de g(x). D'après le tableau de variation de g (g admet un maximum en x=1/2), f est :

3. Par le changement de variable t=(1−x)/(1+x) dans J=$\underset{0}{\overset{1}{\int }}$f(x)dx=$\underset{0}{\overset{1}{\int }}$ln(1+x)/(1+x²)dx, on obtient J=(π/8)·ln(a). La valeur de a est :

4. Exercice (Structures algébriques 2019) : V² est un espace vectoriel réel de dimension 2.
On définit u★v via le produit bilinéaire. La loi ★ est une loi interne sur V² si et seulement si :

5. Exercice 4 — Partie A : Montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ g(x) = −∞ pour g(x)=1+x²−2x(1+x)·ln(1+x). Puis montrer que g'(x) = −2(1+2x)·ln(1+x).

6. Exercice 4 — Partie C : Calculer J=$\underset{0}{\overset{1}{\int }}$ ln(1+x)/(1+x²)dx par le changement de variable t=(1−x)/(1+x).
Montrer que J=(π/8)·ln2.

7. Exercice 4 — Partie C : Calculer K=$\underset{0}{\overset{1}{\int }}$ arctan(x)/(1+x)dx par IBP.

8. Exercice (Espaces vectoriels) : Montrer que (V²,+,★) est un anneau commutatif unitaire. (Étapes : montrer stabilité, associativité, distributivité, élément neutre et unité pour ★.)