Bac SM 2020 — Session Normale — 2ème Bac SM

1. Exercice 1 : Pour 7x³−13y=5 dans ℤ×ℤ, si (x,y) est solution, montrer que x et 13 sont premiers entre eux. Quelle propriété permet ensuite d'obtenir x¹²≡1[13] ?

2. Exercice 3 : z³−2mz²+2m²z−m³=0 avec m≠0. En remarquant que m est solution, factoriser et trouver les 3 solutions. Si z₁=m, z₂+z₃ = ?

3. Exercice 4 : f(x) = x³·ln(1+1/x) = x³·ln((x+1)/x). Par le TAF sur t↦ln(t) sur [x,x+1], on obtient : 1/(x+1) < ln(1+1/x) < 1/x. En multipliant par x² > 0, on déduit que f'(x) = 3x²ln(1+1/x) − x²/(x+1) est :

4. Exercice 4 — Partie II : Suite (u_n) définie par u₀∈]0;α[ et u_n₊₁=f⁻¹(u_n) où f⁻¹ est la bijection réciproque de f. Si f est croissante de [0;α] sur [0;α], alors (u_n) est :

5. Exercice 1 : Montrer que l'équation 7x³−13y=5 n'a pas de solution dans ℤ×ℤ. (Utiliser x¹²≡1[13], puis x³≡?[13], puis x¹²≡?[13] et trouver la contradiction.)

6. Exercice 3 : m=1+e^(iπ/3). Écrire z₂=me^(iπ/3) sous forme exponentielle, sachant que m=1+(1/2+i√3/2)=3/2+i√3/2.

7. Exercice 4 — Partie I : f(x)=x³·ln(1+1/x). Montrer par le TAF que (∀x>0) : x²/(x+1) < f'(x)/... Puis montrer que f est dérivable à droite en 0 et calculer f'd(0).