Bac SM 2021 — Session Normale — 2ème Bac SM

1.
Soit $f_n$(x) = −2eˣ/(1+eˣ) + nx.
On a f'${}_n$(x) = −2eˣ/(1+eˣ)² + n. Sachant que 4eˣ/(1+eˣ)² ≤ 1 pour tout x∈ℝ, le sens de variation de f₀ est :

2. Pour n≥1, $f_n$(x) − nx + 2 = −2eˣ/(1+eˣ) + 2. La limite quand x→+∞ est :

3. Exercice 3 — Partie I : Vérifier que (11, 12) est solution de 47x − 43y = 1. Alors 47×11 − 43×12 = ?

4. Exercice 3 — Partie II : On sait que x⁴²≡1[43] (Fermat, 43 premier, PGCD(x,43)=1). Si x⁴¹≡4[43], alors x vaut (modulo 43) :

5. Exercice 1 — Partie I : Montrer que $f_n$(x) = −2eˣ/(1+eˣ)+nx admet une asymptote oblique en +∞ et une en −∞.
Donner leurs équations.

6. Exercice 1 — Partie I : Montrer que le point I(0, f_n(0)) est un point d'inflexion de ($C_n$). (Calculer f''_n(x) et montrer qu'elle s'annule et change de signe en x=0.)

7. Exercice 2 : Soit z²−(a+b+c)z+c(a+b)=0 avec a=i, b=$e^{i\pi /3}$, c=a−b.
Trouver les solutions z₁ et z₂ sous forme exponentielle.

8. Exercice 3 — Partie III : Résoudre dans ℤ le système (S) : { x⁴¹≡4[43] ; x⁴⁷≡10[47] }.
En déduire x modulo 2021.