Bac SM 2021 — Session Rattrapage — 2ème Bac SM

1.
Soit f(x) = ln(1−x) sur I=]−∞;1[. La limite de f(x)/x quand x→−∞ est :

2. Pour $P_n$(x) = x + x²/2 + … + xⁿ/n, on cherche le réel $x_n$∈]0;1[ tel que $P_n$($x_n$)=1. Pour n=2 : P₂(x)=x+x²/2=1. La solution α=x₂ appartient à :

3. Exercice 2 : F(x) = $\underset{0}{\overset{x}{\int }}$ e^{t−t²/2} dt. Le signe de F(x) pour x > 0 est :

4. Exercice 4 : Soit a≥2 entier, A=1+a+a²+…+a⁶=(a⁷−1)/(a−1). Si p premier impair divise A, montrer que a⁷≡1[p]. Que vaut a⁷−1 modulo p ?

5. Exercice 1 — Partie II : Montrer que pour tout n≥2, il existe un unique $x_n$∈]0;1[ tel que $P_n$($x_n$)=1. Puis montrer que la suite ($x_n$) est strictement décroissante.

6. Exercice 2 : Montrer par IPP que $\underset{0}{\overset{1}{\int }}$ F(x)dx = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}$ (1−x)e^{x−x²/2}dx.

7. Exercice 4 : Soit A = 1+a+a²+a³+a⁴+a⁵+a⁶, p premier impair divisant A. (1) Montrer a⁷≡1[p]. (2) En supposant 7∤(p−1), montrer a≡1[p] puis p=7. (3) Conclure : p=7 ou p≡1[7].