Bac SM 2022 — Session Normale — 2ème Bac SM

1. L'étude de f(0) = 1/2 et f(x) = (x − ln(1+x))/x² pour x∈]0,+∞[. La limite de f(x) quand x→0⁺ est :

2. Pour tout x ∈ ℝ, on a prouvé que 0 ≤ 1 − x + x²/2 − e^(−x). Cette inégalité est équivalente à dire que e^(−x) ≤ :

3. Exercice 3 (Arithmétique 2022) — Si n ≡ 2 [3], alors n² ≡ ? [3]

4. Exercice 4 (Structures 2022) — Soit (ℝ, +, ×). L'ensemble des matrices [[a, −b],[b, a]] avec a,b∈ℝ forme un anneau. La multiplication de deux telles matrices est :

5. Exercice 1 — Partie A : (1) Vérifier que ∀x∈ℝ⁺ : 0 ≤ 1−x+x²−1/(x+1) ≤ x³. (2) En déduire que ∀x∈ℝ⁺ : 0 ≤ x − x²/2 + x³/3 − ln(1+x) ≤ x⁴/4.

6. Exercice 1 — Partie E : Soit Δ_k = f(k) − ∫_k^{k+1} f(t)dt et S_n = Σ_k₌₀^{n−1} Δ_k. Montrer que 0 ≤ S_n ≤ 1/2, puis que (S_n) converge.

7. Exercice 2 (Complexes 2022) : Soit z₁ = 1+i et z₂ = √3 − i. Écrire z₁ et z₂ sous forme exponentielle, puis calculer z₁/z₂.

8. Exercice 3 (Arithmétique 2022) : Montrer que pour tout entier n, 3|(n³ − n). Puis montrer que 6|(n³ − n) pour tout n.