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Bac SM 2022 — Session Rattrapage

2ème Bac SM · 20 points

⏱️ 240:00
0/8 répondues

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Bac SM 2022 — Session Rattrapage — 2ème Bac SM

⏱️ 240 minutes ❓ 8 questions 🏆 20 points
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1 QCM
2 pts

1. La propriété fondamentale utilisée en Partie A est : pour tout x∈ℝ, 1+x ≤ eˣ. En déduire la valeur de lim_{x→0} (eˣ−1)/x :

2 QCM
2 pts

2. Pour f(x) = (e^(−x) − e^(−2x))/x sur ]0,+∞[ et f(0)=1, la limite de (f(x)−1)/x quand x→0⁺ vaut :

3 QCM
2 pts

3. Dans l'exercice Structures algébriques (Rat. 2022), si ★ est une loi sur ℝ définie par x★y = x+y+xy, l'élément neutre est :

4 QCM
2 pts

4. Dans l'exercice d'arithmétique (Rat. 2022), PGCD(84, 132) vaut :

5 Calcul
3 pts

5. Exercice 1 — Partie A : (1) Montrer que ∀x∈ℝ : 1+x ≤ eˣ. (2a) En déduire ∀x∈ℝ⁺ : 0 ≤ 1−e^(−x) ≤ x. (2b) Montrer ∀x∈ℝ⁺ : 0 ≤ 1−x+x²/2 − e^(−x) ≤ x³/6.

Conseil: montre ta démarche complète

6 Calcul
3 pts

6. Exercice 1 — Partie D : Soit une subdivision de [0,α], x<sub>k</sub>=kα/n et J<sub>k</sub>=∫f(x<sub>k</sub>)dt, I<sub>k</sub>=∫_{x<sub>k</sub>}^{x_{k+1}} f(t)dt. Montrer |J<sub>k</sub>−I<sub>k</sub>| ≤ (3/4)(α/n)².

Conseil: montre ta démarche complète

7 Calcul
2 pts

7. Exercice 2 (Complexes 2022 Rat.) : Écrire le nombre complexe z = (1+i√3)/(√3+i) sous forme exponentielle.

Conseil: montre ta démarche complète

8 Calcul
3 pts

8. Exercice 3 (Structures algébriques — Rat. 2022) : Soit ★ définie par x★y = x+y+xy sur ℝ. (a) Montrer que (ℝ,★) est un groupe commutatif. (b) Montrer que (ℝ\{−1},★) est un groupe et identifier un groupe connu.

Conseil: montre ta démarche complète