Bac SM 2022 — Session Rattrapage — 2ème Bac SM

1. La propriété fondamentale utilisée en Partie A est : pour tout x∈ℝ, 1+x ≤ eˣ.
En déduire la valeur de $\underset{x\to 0}{\lim }$ (eˣ−1)/x :

2. Pour f(x) = ($e^{-x}$ − $e^{-2x}$)/x sur ]0,+∞[ et f(0)=1, la limite de (f(x)−1)/x quand x→0⁺ vaut :

3. Dans l'exercice Structures algébriques (Rat. 2022), si ★ est une loi sur ℝ définie par x★y = x+y+xy, l'élément neutre est :

4. Dans l'exercice d'arithmétique (Rat. 2022), PGCD(84, 132) vaut :

5. Exercice 1 — Partie A : (1) Montrer que ∀x∈ℝ : 1+x ≤ eˣ. (2a) En déduire ∀x∈ℝ⁺ : 0 ≤ 1−$e^{-x}$ ≤ x. (2b) Montrer ∀x∈ℝ⁺ : 0 ≤ 1−x+x²/2 − $e^{-x}$ ≤ x³/6.

6. Exercice 1 — Partie D : Soit une subdivision de $[0,\alpha ]$, $x_k=k\alpha /n$ et $J_k=\int f(x_k)dt$, $I_k=\underset{x_k}{\overset{x_{k+1}}{\int }}f(t)dt$.
Montrer $|J_k-I_k|\le \frac{3}{4}{\left(\frac{\alpha }{n}\right)}^2$.

7. Exercice 2 (Complexes 2022 Rat.) : Écrire le nombre complexe z = (1+i$\sqrt{3}$)/($\sqrt{3}$+i) sous forme exponentielle.

8. Exercice 3 (Structures algébriques — Rat. 2022) : Soit ★ définie par x★y = x+y+xy sur ℝ. (a) Montrer que (ℝ,★) est un groupe commutatif. (b) Montrer que (ℝ\{−1},★) est un groupe et identifier un groupe connu.