Bac SM 2023 — Session Normale — 2ème Bac SM

1. Pour tout x ∈ [0,+∞[, on a montré que 2x/(2+x) ≤ ln(1+x). Quelle inégalité permet de déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ ln(1+x)/x ?

2.
Soit g(x) = ln(1+x)/x définie sur ]0,+∞[.
On a $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$ (g(x)−1)/x = ?

3. Dans l'exercice sur les nombres complexes (Bac SM 2023), l'ensemble des solutions de |z − 1| = |z + i| est :

4. Un anneau (A, +, ×) est commutatif si et seulement si :

5. Exercice 1 — Partie I : Montrer que pour tout t ∈ [0,+∞[ : 4/(2+t)² ≤ 1/(1+t) ≤ ½(1 + 1/(1+t)²). Puis en déduire que pour tout x ∈ [0,+∞[ : 2x/(2+x) ≤ ln(1+x) ≤ ½(x²+2x)/(1+x).

6. Exercice 2 : Calculer $\underset{0}{\overset{1}{\int }}$ ln(1+x)/x dx en utilisant le développement en série ln(1+x) = ${\Sigma }_n$₌₁^{+∞} (−1)ⁿ⁺¹ xⁿ/n.

7. Exercice 4 (Arithmétique) : Montrer que pour tout entier n ≥ 1, on a 13 | (4ⁿ⁺¹ + 5²ⁿ⁻¹).

8. Exercice 5 (Structures algébriques) : Soit E = ℝ² et la loi ⊕ définie par (a,b)⊕(c,d) = (a+c, b+d+ac).
Montrer que (E,⊕) est un groupe. Est-il commutatif ?

9. Exercice 3 (Nombres complexes) : Soit z₀ = $e^{i\pi /3}$.
Calculer |1 + z₀ + z₀²| et l'argument de (1 + z₀ + z₀²).