Bac SM 2023 — Session Rattrapage — 2ème Bac SM

1.
Soit $f_n$(x) = $\sqrt{x}$·(ln x)ⁿ sur ]0,+∞[ et $f_n$(0) = 0. Pour montrer la continuité en 0, on utilise $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$ $\sqrt{x}$·(ln x)ⁿ. Cette limite vaut :

2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ $f_n$(x)/x = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ (ln x)ⁿ/$\sqrt{x}$. Cette limite vaut :

3. Si F(x) = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}$ [f₁(t)]² dt = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}$ t(ln t)² dt, alors F(x) vaut (après deux intégrations par parties) :

4. Dans l'exercice de structures algébriques (Rat. 2023), si (G,★) est un groupe et H ⊂ G est un sous-groupe, alors H est stable par :

5. Exercice 1 — Partie I : Soit $f_n$ définie par $f_n$(0)=0 et $f_n$(x)=$\sqrt{x}$·(ln x)ⁿ sur ]0,+∞[. (a) Vérifier que x·(ln x)ⁿ = (2n)ⁿ·($x^{1/2n}$·ln($x^{1/2n}$))ⁿ. (b) En déduire que $f_n$ est continue en 0.

6. Exercice 1 — Partie III : Calculer F = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}$ [f₁(t)]² dt = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}$ t(ln t)² dt par deux intégrations par parties.

7. Exercice 4 (Arithmétique) : Résoudre dans ℤ l'équation 7x + 11y = 1, puis déduire toutes les solutions entières de 7x + 11y = 5.

8. Exercice 3 (Structures algébriques) : Soit (G,★) le groupe et H = {x∈G | x★x = e}.
Montrer que H est un sous-groupe de G si et seulement si H est stable par ★.