Examen National BAC SM 2024 — Session Normale — 2ème Bac SM

1.
Soit f définie sur [1,+∞[ par f(1)=1/2 et f(x)=ln(x)/(x²−1) pour x>1. La limite de f(x) quand x→+∞ est :

2. Pour l'équation (Eα) : z² − 2iz + α = 0 (α∈ℂ), le discriminant Δ vaut :

3. Dans (ℂ×ℂ*, T) avec (a,b)T(c,d) = (a$overlined$+c, bd). L'élément neutre est :

4.
Soient p=13, q=17 et r=2024.
On a PGCD(2024,13)=1 et PGCD(2024,17)=1. D'après le théorème de Fermat, 2024^192 ≡ ? [221]

5.
Montrer que f est continue à droite en 1, sachant que f(1)=1/2 et f(x)=ln(x)/(x²−1) pour x>1.

6.
Montrer que l'équation (Eα) : z² − 2iz + α = 0 avec α = m² − 2m (m∈ℝ) a deux solutions z₁ = (2−m)i et z₂ = mi, et que les points O, M₁, M₂ sont alignés.

7.
Montrer que (ℂ×ℂ*, T) est un groupe non commutatif avec (a,b)T(c,d) = (a$overlined$+c, bd).
Donner le symétrique de (a,b).

8.
Soient p et q deux nombres premiers distincts, r entier naturel avec PGCD(r,p)=1 et PGCD(r,q)=1.
Montrer que pq divise $r^{(p-1)(q-1)}$ − 1.

9.
Soit $F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{t^2}dt$ sur $[0;1]$.
Montrer que $F$ est une bijection de $[0;1]$ vers $[0;\beta ]$ avec $\beta =F(1)$. Puis montrer que $\lim \frac{1}{n}\sum F^{-1}\left(\frac{k\beta }{n}\right)=\ell =\frac{1}{\beta }\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{F}^{-1}(t)dt$.