Examen National BAC SM 2024 — Session Normale — 2ème Bac SM

1. Soit f définie sur [1,+∞[ par f(1)=1/2 et f(x)=ln(x)/(x²−1) pour x>1. La limite de f(x) quand x→+∞ est :

2. Pour l'équation (Eα) : z² − 2iz + α = 0 (α∈ℂ), le discriminant Δ vaut :

3. Dans (ℂ×ℂ*, T) avec (a,b)T(c,d) = (a<span style="text-decoration:overline">d</span>+c, bd). L'élément neutre est :

4. Soient p=13, q=17 et r=2024. On a PGCD(2024,13)=1 et PGCD(2024,17)=1. D'après le théorème de Fermat, 2024^192 ≡ ? [221]

5. Montrer que f est continue à droite en 1, sachant que f(1)=1/2 et f(x)=ln(x)/(x²−1) pour x>1.

6. Montrer que l'équation (Eα) : z² − 2iz + α = 0 avec α = m² − 2m (m∈ℝ) a deux solutions z₁ = (2−m)i et z₂ = mi, et que les points O, M₁, M₂ sont alignés.

7. Montrer que (ℂ×ℂ*, T) est un groupe non commutatif avec (a,b)T(c,d) = (a<span style="text-decoration:overline">d</span>+c, bd). Donner le symétrique de (a,b).

8. Soient p et q deux nombres premiers distincts, r entier naturel avec PGCD(r,p)=1 et PGCD(r,q)=1. Montrer que pq divise r^((p−1)(q−1)) − 1.

9. Soit F(x)=∫₀ˣ e^(t²)dt sur [0;1]. Montrer que F est une bijection de [0;1] vers [0;β] avec β=F(1). Puis montrer que lim(1/n × Σ F⁻¹(kβ/n)) = ℓ = (1/β)∫₀^β F⁻¹(t)dt.