Examen National BAC SM 2024 — Session Rattrapage — 2ème Bac SM

1. Soit f_n(x) = x − xⁿ ln(x) pour x>0 et f_n(0)=0 (n≥2). La valeur de f_n en son maximum est :

2. Pour la suite u_n = (1/n) Σ(k=1 à n) [n/(n²+k²)], sa limite est :

3. Dans (ℂ,★) avec z★z'=(xy'+y⁵x')+iyy' pour z=x+iy et z'=x'+iy'. Le résultat de 1★2i est :

4. On cherche u∈{1,...,22} tel que 10u ≡ 1[23]. Par algorithme d'Euclide, PGCD(10,23) = ?

5. Soit f_n(x) = x − xⁿln(x) pour x>0, f_n(0)=0. Montrer que f_n est continue à droite en 0 et que f_n'(x) = 1 − xⁿ⁻¹ − nxⁿ⁻¹ln(x) pour x>0.

6. Soient z₁=m et z₂=m(1+i) (m∈ℝ*). M₃ est l'image de O par la rotation de centre M₂ et d'angle −π/2. Calculer z₃.

7. Montrer que les points M₁(z₁=m), M₂(z₂=m(1+i)), M₃(z₃=2mi), M₄(z₄=km) sont cocycliques si et seulement si k = −2.

8. La loi ★ sur ℂ est définie par z★z' = (xy'+y⁵x')+iyy' pour z=x+iy. Montrer que ★ n'est pas commutative. Puis montrer que (G, ★) où G={iy | y∈ℝ*} est un groupe commutatif.

9. On a trouvé u=7 tel que 10×7≡1[23]. Résoudre dans ℕ le système : { x≡1[23] ; x≡2[10] }.