Examen National BAC SM 2024 — Session Rattrapage — 2ème Bac SM

1.
Soit $f_n$(x) = x − xⁿ ln(x) pour x>0 et $f_n$(0)=0 (n≥2). La valeur de $f_n$ en son maximum est :

2. Pour la suite $u_n$ = (1/n) Σ(k=1 à n) [n/(n²+k²)], sa limite est :

3. Dans (ℂ,★) avec z★z'=(xy'+y⁵x')+iyy' pour z=x+iy et z'=x'+iy'. Le résultat de 1★2i est :

4.
On cherche u∈{1,...,22} tel que 10u ≡ 1[23]. Par algorithme d'Euclide, PGCD(10,23) = ?

5.
Soit $f_n$(x) = x − xⁿln(x) pour x>0, $f_n$(0)=0.
Montrer que $f_n$ est continue à droite en 0 et que $f_n$'(x) = 1 − xⁿ⁻¹ − nxⁿ⁻¹ln(x) pour x>0.

6.
Soient z₁=m et z₂=m(1+i) (m∈ℝ*). M₃ est l'image de O par la rotation de centre M₂ et d'angle −π/2.
Calculer z₃.

7.
Montrer que les points M₁(z₁=m), M₂(z₂=m(1+i)), M₃(z₃=2mi), M₄(z₄=km) sont cocycliques si et seulement si k = −2.

8. La loi ★ sur ℂ est définie par z★z' = (xy'+y⁵x')+iyy' pour z=x+iy.
Montrer que ★ n'est pas commutative. Puis montrer que (G, ★) où G={iy | y∈ℝ*} est un groupe commutatif.

9.
On a trouvé u=7 tel que 10×7≡1[23].
Résoudre dans ℕ le système : { x≡1[23] ; x≡2[10] }.