Fiche de révision — 1ère Bac SM

Suites, trig., produit scalaire, dérivées, limites, probabilités, complexes, espace · riyaddiyat.com

∑ Suites numériques

Suite arithmétique

un = u₀ + n×r · Sn = (n+1)(u₀+un)/2

Suite géométrique

un = u₀ × qⁿ · Sn = u₀×(qⁿ⁺¹−1)/(q−1)

Monotonie

Arithmétique : r>0 → croissante · Géométrique : q>1 et u₀>0 → croissante

⚠️ Pièges à éviter

✗ La somme Sn = u₀+u₁+...+un contient (n+1) termes, pas n
✗ Suite géométrique avec q<0 : termes alternent de signe

🎲 Dénombrement

Arrangements

Aⁿp = n! / (n−p)!

Ex : A⁵₂ = 5×4 = 20

Combinaisons

Cⁿp = n! / (p!×(n−p)!)

Ex : C⁵₂ = 10

Binôme de Newton

(a+b)ⁿ = Σ Cⁿk aⁿ⁻k bk (k de 0 à n)

Factorielle

n! = n×(n−1)×...×2×1 · 0! = 1

⚠️ Pièges à éviter

✗ Arrangements : l'ordre compte · Combinaisons : l'ordre ne compte pas
✗ Cⁿp = Cⁿn₋p (propriété de symétrie)

💡

Triangle de Pascal : chaque case = somme des deux cases au-dessus

∠ Trigonométrie

Valeurs exactes

cos(0)=1, cos(π/6)=√3/2, cos(π/4)=√2/2, cos(π/3)=1/2, cos(π/2)=0

Relation fondamentale

cos²(x) + sin²(x) = 1

Addition (cos)

cos(a+b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)

Addition (sin)

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Double angle (cos)

cos(2a) = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a

Double angle (sin)

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

⚠️ Pièges à éviter

✗ cos et sin sont définis sur tout ℝ, tan est indéfini pour x = π/2 + kπ
✗ Les formules de sin(a+b) et cos(a+b) sont différentes — ne pas les confondre

→ Produit scalaire

Définition

u→·v→ = |u→||v→|cos(θ)

En coordonnées

u→(x₁,y₁)·v→(x₂,y₂) = x₁x₂ + y₁y₂

Formule d'Al-Kashi

BC² = AB² + AC² − 2×AB×AC×cos(Â)

Orthogonalité

u→ ⊥ v→ ⇔ u→·v→ = 0

Norme

|u→|² = u→·u→ = x² + y²

⚠️ Pièges à éviter

✗ Le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur
✗ Al-Kashi : l'angle est ENTRE les deux côtés connus

→ Limites & Continuité

FI à lever

0/0 · ∞/∞ · ∞−∞ · 0×∞ → factoriser ou multiplier par conjugué

Limites fondamentales

lim sin(x)/x = 1 · lim (eˣ−1)/x = 1 · lim ln(1+x)/x = 1 (x→0)

Polynômes en ±∞

Terme de plus haut degré domine · eˣ>>xⁿ>>ln(x)

Continuité en a

f continue en a ⇔ lim_{x→a} f(x) = f(a)

TVI (Bolzano)

f continue sur [a,b], f(a)·f(b)<0 ⇒ ∃c∈]a,b[ : f(c)=0

⚠️ Pièges à éviter

✗ sin(x)/x → 1 seulement si x → 0 (pas si x → +∞)
✗ TVI donne l'existence, pas l'unicité
✗ FI ∞−∞ : factoriser par le terme dominant avant de conclure

💡

Pour lever 0/0 : factoriser num. et dénom. par (x−a), simplifier puis calculer

f' Dérivées & Étude de fonctions

Dérivées de base

(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ · (eˣ)'=eˣ · (ln x)'=1/x · (sin x)'=cos x · (cos x)'=−sin x

Produit

(uv)' = u'v + uv'

Quotient

(u/v)' = (u'v − uv') / v²

Composée

(f∘g)' = g'·(f'∘g) exemples : (eu)'=u'eu · (ln u)'=u'/u · (uⁿ)'=nu'uⁿ⁻¹

Signe de f'

f'>0 ⇒ f croissante · f'<0 ⇒ f décroissante · f'(a)=0 → extremum éventuel

⚠️ Pièges à éviter

✗ (ln u)' = u'/u et NON 1/u
✗ (sin 2x)' = 2cos(2x) : ne pas oublier la dérivée intérieure
✗ f'(a)=0 ne garantit pas un extremum — peut être un point d'inflexion

💡

Plan d'étude : Df → limites → f' → signe de f' → tableau de variation → extrema → tracé

🎲 Probabilités

Probabilité conditionnelle

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) avec P(B) > 0

Probabilités totales

P(A) = P(A|B)·P(B) + P(A|<span style="text-decoration:overline">B</span>)·P(<span style="text-decoration:overline">B</span>)  si {B, <span style="text-decoration:overline">B</span>} partition

Théorème de Bayes

P(B|A) = P(A|B)·P(B) / P(A)

Indépendance

A et B indépendants ⇔ P(A∩B) = P(A)·P(B)

Loi binomiale X∼B(n,p)

P(X=k) = Cnk·pk·(1−p)ⁿ⁻k · E(X)=np · V(X)=np(1−p)

⚠️ Pièges à éviter

✗ P(A|B) ≠ P(B|A) — confusion classique (Bayes)
✗ Indépendance ≠ incompatibilité : si A∩B=∅ alors P(A∩B)=0, mais P(A)P(B) peut être ≠0

💡

Arbre de probabilité : multiplier les probabilités sur les branches, additionner les branches terminales

ℂ Nombres complexes (Introduction)

Forme algébrique

z = a + ib avec i² = −1 (a, b ∈ ℝ)

Module

|z| = √(a²+b²)

Ex : |3+4i| = 5

Conjugué

<span style="text-decoration:overline">z</span> = a − ib  ·  z×<span style="text-decoration:overline">z</span> = |z|²  ·  Re(z)=(z+<span style="text-decoration:overline">z</span>)/2  ·  Im(z)=(z−<span style="text-decoration:overline">z</span>)/(2i)

Division

z/z' : multiplier num. et dénom. par z'

Ex : (1+i)/(1−i) = (1+i)²/2 = i

Forme trigonométrique

z = r(cosθ + i sinθ) avec r=|z| et θ=arg(z)

⚠️ Pièges à éviter

✗ i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1 (cycle de période 4)
✗ Pour diviser : multiplier par le CONJUGUÉ du dénominateur

💡

Point M(z) dans le plan complexe : M(a+ib) a les coordonnées (a ; b)

🧊 Géométrie dans l'espace

Positions relatives droites/plans

Deux droites : coplanaires (parallèles ou sécantes) ou non coplanaires (gauches)

Droite ⊥ plan

d ⊥ (P) ⇔ d perpendiculaire à DEUX droites sécantes de (P)

Plans parallèles

(P) ∥ (Q) ⇔ deux droites sécantes de (P) parallèles à deux droites sécantes de (Q)

Théorème des 3 perpendiculaires

Soit d'une droite quelconque, h sa projection orthogonale sur (P), t une droite de (P) : h⊥t ⇔ d'⊥t

Volumes

Cube : a³ · Pyramide : V=Bh/3 · Boule : 4πr³/3 · Cylindre : πr²h · Cône : πr²h/3

⚠️ Pièges à éviter

✗ Une droite // à une droite d'un plan n'est pas forcément parallèle au plan
✗ Vérifier que les deux droites sont SÉCANTES (et pas parallèles) pour le critère d⊥(P)

💡

Section d'un solide par un plan : appliquer Thalès / parallélisme pour trouver les longueurs

Fiche créée par Riyaddiyat · Plateforme de maths pour les élèves marocains