BAC · Suites, limites, dérivées, intégrales, logarithme, exponentielle
u<sub>n</sub>₊₁ = f(u<sub>n</sub>) → monotonie via signe de u<sub>n</sub>₊₁ − u<sub>n</sub> (u<sub>n</sub>) croissante + (v<sub>n</sub>) décroissante + v<sub>n</sub>−u<sub>n</sub>→0 → même limite Toute suite monotone et bornée converge ∞−∞ · 0×∞ · ∞/∞ · 0/0 · 1^∞ Diviser par le terme de plus haut degré Multiplier par l'expression conjuguée f continue sur [a,b], f(a)×f(b)<0 → ∃c∈]a,b[ : f(c)=0 lim(eˣ/xⁿ)=+∞ · lim(ln(x)/xⁿ)=0 · lim((1+1/x)ˣ)=e (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ · (√x)' = 1/(2√x) · (ln x)' = 1/x · (eˣ)' = eˣ (uv)' = u'v + uv' (u/v)' = (u'v − uv') / v² (f∘g)' = g' × f'(g(x)) y = f'(x₀)(x−x₀) + f(x₀) ln(ab) = ln(a)+ln(b) · ln(a/b) = ln(a)−ln(b) · ln(aⁿ) = n×ln(a) ln(1) = 0 · ln(e) = 1 · e^(ln(x)) = x (x>0) e<sup>a</sup>×e<sup>b</sup> = e<sup>a</sup>⁺<sup>b</sup> · e<sup>a</sup>/e<sup>b</sup> = e<sup>a</sup>⁻<sup>b</sup> · (e<sup>a</sup>)<sup>b</sup> = e<sup>a</sup><sup>b</sup> lim(xⁿeˣ)=+∞ · lim(eˣ/xⁿ)=+∞ · lim(xⁿln x)=0⁺ Pour résoudre eˣ = k → x = ln(k) · Pour ln(x) = k → x = e<sup>k</sup>
∫xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1) · ∫(1/x) = ln|x| · ∫eˣ = eˣ · ∫cos = sin · ∫sin = −cos ∫uv' = [uv] − ∫u'v ∫(af+bg) = a∫f + b∫g ∫<sub>a</sub><sup>c</sup>f = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f + ∫<sub>β</sub><sup>c</sup>f f≥0 sur [a,b] → ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f ≥ 0 | m≤f≤M → m(b−a)≤∫f≤M(b−a) Aire = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>|f(x)−g(x)|dx z = a + ib (a = Re(z), b = Im(z), i² = −1) |z| = √(a²+b²) | |z·z'| = |z|·|z'| | |z/z'| = |z|/|z'| <span style="text-decoration:overline">z</span> = a − ib | z·<span style="text-decoration:overline">z</span> = |z|² | Re(z) = (z+<span style="text-decoration:overline">z</span>)/2 z = r(cosθ + i·sinθ) où r = |z|, θ = arg(z) z = r·e^(iθ) (formule d'Euler : e^(iθ) = cosθ + i·sinθ) r·e^(iθ) × r'·e^(iθ') = rr'·e^(i(θ+θ')) → modules ×, arguments + (cosθ + i·sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ) zⁿ = a → n racines : z<sub>k</sub> = r^(1/n)·e^(i(θ+2kπ)/n), k=0..n−1 Points dans le plan : M(z) → affixe z = x + iy. Distance : |z₂ − z₁| = M₁M₂
A<sub>n</sub><sup>p</sup> = n!/(n−p)! C<sub>n</sub><sup>p</sup> = n! / (p!(n−p)!) P(A|B) = P(A∩B) / P(B) P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|<span style="text-decoration:overline">B</span>)P(<span style="text-decoration:overline">B</span>) P(B|A) = P(A|B)·P(B) / P(A) X∼B(n,p) : P(X=k) = C<sub>n</sub><sup>k</sup>·p<sup>k</sup>·(1−p)ⁿ⁻<sup>k</sup> | E(X)=np | V(X)=np(1−p) X∼N(μ,σ²) : P(μ−σ≤X≤μ+σ) ≈ 0.68 | P(μ−2σ≤X≤μ+2σ) ≈ 0.95 Variable centrée réduite : Z = (X−μ)/σ → Z∼N(0,1). Lire table normale standard.
Solution générale : y = C·e<sup>a</sup>ˣ (C ∈ ℝ) Chercher solution particulière y<sub>p</sub>=k (constante), puis y=Ce^(ax)+k Solution homogène : y<sub>h</sub> = Ce^(−px). Ajouter y<sub>p</sub>. Équation caractéristique : r²+pr+q=0. Selon Δ : 2 racines réelles, racine double, ou complexes. y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x) y = (C₁ + C₂x)e^(r₀x) y = e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sin(βx)) Toujours vérifier la solution en la réinjectant dans l'équation différentielle.
a = bq + r avec 0 ≤ r < b | PGCD(a,b) = PGCD(b,r) Divisions successives jusqu'à reste 0 → dernier reste non nul = PGCD PGCD(a,b)=d ⇔ ∃u,v∈ℤ : au+bv=d | PGCD(a,b)=1 ⇔ ∃u,v : au+bv=1 a|bc et PGCD(a,b)=1 ⇒ a|c a≡b[n] ⇔ n|(a−b) | Si a≡b[n] et c≡d[n] → a+c≡b+d[n] et ac≡bd[n] p premier, PGCD(a,p)=1 ⇒ a<sup>p</sup>⁻¹ ≡ 1[p] | Corollaire : a<sup>p</sup> ≡ a[p] CRT (Chinois) : si PGCD(n₁,n₂)=1 → système admet une solution unique mod n₁n₂ Méthode : résoudre au+bv=d → trouver solution particulière par Euclide → solution générale : u = u₀+(b/d)k, v = v₀−(a/d)k
① Fermeture ② Associativité ③ Élément neutre e ④ Tout élément a un symétrique (inverse) Groupe + ∀a,b : a★b = b★a (A,+) groupe abélien + × associatif + × distributif sur + | Si × commutatif → anneau commutatif Anneau commutatif + tout élément non nul est inversible pour × H ≤ G ⇔ H≠∅ et ∀a,b∈H : a★b⁻¹∈H f:(G,★)→(H,△) est un morphisme si f(a★b) = f(a)△f(b) ∀a,b∈G (E,+) groupe abélien + multiplication scalaire · vérifiant : λ(u+v)=λu+λv · (λ+μ)u=λu+μu · (λμ)u=λ(μu) · 1·u=u F ⊂ E est un sev si : 0∈F · ∀u,v∈F, u+v∈F · ∀λ∈K, ∀u∈F, λu∈F Libre : Σλ<sub>i</sub>v<sub>i</sub>=0 ⇒ λ<sub>i</sub>=0. Génératrice : tout vecteur est combinaison linéaire. Base = libre + génératrice. Méthode isomorphisme : montrer bijectif + morphisme. Isomorphisme ⇒ même structure algébrique.
u<sup>→</sup>(x,y,z) · Norme : ‖u<sup>→</sup>‖ = √(x²+y²+z²) u<sup>→</sup>·v<sup>→</sup> = xx'+yy'+zz' | u<sup>→</sup>⊥v<sup>→</sup> ⇔ u<sup>→</sup>·v<sup>→</sup> = 0 ax + by + cz + d = 0 → vecteur normal : n<sup>→</sup>(a,b,c) d(A, plan) = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²) (D) : (x−x₀)/a = (y−y₀)/b = (z−z₀)/c → vecteur directeur u<sup>→</sup>(a,b,c) A, B, C, D coplanaires ⇔ det(AB<sup>→</sup>,AC<sup>→</sup>,AD<sup>→</sup>) = 0 (x−a)²+(y−b)²+(z−c)² = r² → centre Ω(a,b,c), rayon r Produit vectoriel u<sup>→</sup>∧v<sup>→</sup> est perpendiculaire à u<sup>→</sup> et v<sup>→</sup> — utile pour trouver la normale à un plan.
a² = b² + c² − 2bc·cos(Â) (généralise Pythagore) m<sub>a</sub>² = (2b²+2c²−a²)/4 où m<sub>a</sub> = longueur de la médiane issue de A h<sub>a</sub> = (2·Aire) / a · h<sub>a</sub> = bc·sin(Â)/a S = ½·base·hauteur = ½·bc·sin(Â) = abc/(4R) = p·r S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) avec p=(a+b+c)/2 R = abc/(4S) = a/(2sin(Â)) (théorème des sinus : a/sin(Â) = 2R) r = S/p (S = aire, p = demi-périmètre) ABCD inscrit dans cercle ⇔ Â+Ĉ = 180° et B̂+D̂ = 180° Angle au centre = 2 × angle inscrit qui intercepte le même arc → AOB = 2·AMB Si (EF) ∥ (BC) : EA/EB = FA/FC = EF/BC Aire du triangle : S = ½bc·sin(Â). Rayon circonscrit : R = abc/(4S). Rayon inscrit : r = S/p. Théorème des sinus : a/sin(Â) = b/sin(B̂) = c/sin(Ĉ) = 2R
|a + b| ≤ |a| + |b| · ||a| − |b|| ≤ |a − b| (a + b)/2 ≥ √(ab) pour a,b ≥ 0 · égalité ⇔ a = b (a₁+a₂+…+a<sub>n</sub>)/n ≥ (a₁·a₂·…·a<sub>n</sub>)^(1/n) pour a<sub>i</sub> ≥ 0 √((a²+b²)/2) ≥ (a+b)/2 ≥ √(ab) ≥ 2/(1/a+1/b) (QM ≥ AM ≥ GM ≥ HM) (ac + bd)² ≤ (a²+b²)(c²+d²) · égalité ⇔ a/c = b/d (a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)² ≤ (a₁²+a₂²+a₃²)(b₁²+b₂²+b₃²) Si a₁≥a₂≥…≥a<sub>n</sub> et b₁≥b₂≥…≥b<sub>n</sub> : n·Σa<sub>i</sub>b<sub>i</sub> ≥ (Σa<sub>i</sub>)(Σb<sub>i</sub>) · inégalité renversée si ordres opposés (1+x)ⁿ ≥ 1 + nx pour x ≥ −1 et n ∈ ℕ · égalité ⇔ x=0 ou n=1 Technique olympiade : pour minimiser/maximiser une expression, identifier quelle inégalité donne l'égalité avec les conditions du problème (AM-GM si produit, Cauchy-Schwarz si somme de produits).