Maths pour Sciences Physiques · Fonctions, intégrales, stats, proba
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ · (eˣ)' = eˣ · (ln x)' = 1/x · (sin x)' = cos x · (cos x)' = −sin x (f(u))' = u'·f'(u) y = f'(a)(x−a) + f(a) en x = a f'(a) = 0 et changement de signe → extremum local lim(sin x/x)=1 (x→0) · lim(eˣ/x)=+∞ · lim(ln x/x)=0 (x→+∞) ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C · ∫eˣ dx = eˣ+C · ∫cos x dx = sin x+C · ∫(1/x) dx = ln|x|+C ∫uv' = [uv] − ∫u'v Aire(courbe/axe) = |∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx| | Aire entre f et g = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>|f−g|dx m = (1/(b−a))×∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx y = C·e<sup>a</sup>ˣ 1) Résoudre y' + py = 0 → y<sub>h</sub> = Ce^(−px) 2) Chercher y<sub>p</sub> 3) y = y<sub>h</sub> + y<sub>p</sub> Donner y(x₀)=y₀ → trouver C En physique : décharge RC → u' + u/RC = 0. Oscillateur → y'' + ω²y = 0.
<span style="text-decoration:overline">x</span> = (Σx<sub>i</sub>n<sub>i</sub>) / N V = Σn<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>−<span style="text-decoration:overline">x</span>)² / N = (Σn<sub>i</sub>x<sub>i</sub>²)/N − <span style="text-decoration:overline">x</span>² σ = √V | Données dans [<span style="text-decoration:overline">x</span>−2σ, <span style="text-decoration:overline">x</span>+2σ] ≈ 95% X∼B(n,p) : P(X=k) = C<sub>n</sub><sup>k</sup>p<sup>k</sup>(1−p)ⁿ⁻<sup>k</sup> · E(X)=np · σ=√(np(1−p)) X∼N(μ,σ²) → Z=(X−μ)/σ∼N(0,1) | P(|X−μ|≤2σ) ≈ 0.95 Intervalle de confiance à 95% : [<span style="text-decoration:overline">x</span>−2σ/√n, <span style="text-decoration:overline">x</span>+2σ/√n]
z = a + ib (i² = −1) | |z| = √(a²+b²) z = r·e^(iθ) avec r=|z|, θ=arg(z) e^(iθ) = cosθ + i·sinθ | e^(−iθ) = cosθ − i·sinθ cos θ = (e^(iθ)+e^(−iθ))/2 | sin θ = (e^(iθ)−e^(−iθ))/(2i) En physique : signaux sinusoïdaux → représentation complexe (phaseurs). Z_R=R, Z_C=1/(jCω), Z_L=jLω
cos(a+b) = cosacosb − sinasinb | sin(a+b) = sinacosb + cosasinb cos(2a) = cos²a−sin²a = 1−2sin²a | sin(2a) = 2sinacosa cos²a = (1+cos2a)/2 | sin²a = (1−cos2a)/2 (sin x)' = cos x · (cos x)' = −sin x · (tan x)' = 1/cos²x = 1+tan²x