Logique, ensembles, fonctions, suites, trigonométrie, dénombrement
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ [a,b] fermé · ]a,b[ ouvert · [a,b[ semi-ouvert |x| = x si x≥0, |x| = −x si x<0 |a×b| = |a|×|b| · |a+b| ≤ |a|+|b| P ⇒ Q : si P est vraie, alors Q est vraie Non Q ⇒ Non P Q ⇒ P ¬(∀x, P(x)) = ∃x, ¬P(x) ¬(∃x, P(x)) = ∀x, ¬P(x) 1) Initialisation (n=0 ou n=1) · 2) Hérédité (P(n)→P(n+1)) Paire : f(−x) = f(x) · Impaire : f(−x) = −f(x) Croissante : x₁<x₂ ⇒ f(x₁)<f(x₂) f(a) = b → b est l'image de a par f · a est un antécédent de b Courbe d'une fonction paire = symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
<span style="text-decoration:overline">x</span> = (Σ n<sub>i</sub>×x<sub>i</sub>) / Σn<sub>i</sub> Valeur qui partage la série en 2 moitiés égales max − min V = (Σ n<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>−<span style="text-decoration:overline">x</span>)²) / n σ = √V A ∪ B = {x | x∈A ou x∈B} A ∩ B = {x | x∈A et x∈B} Ā = {x∈E | x∉A} A \ B = {x∈A | x∉B} = A ∩ <span style="text-decoration:overline">B</span> (A∪B)̄ = Ā∩<span style="text-decoration:overline">B</span> · (A∩B)̄ = Ā∪<span style="text-decoration:overline">B</span> A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) AΔB = (A\B) ∪ (B\A) = (A∪B) \ (A∩B) Diagrammes de Venn : toujours dessiner pour visualiser les opérations sur les ensembles
¬P est vraie ⇔ P est fausse · ¬(¬P) = P "P et Q" vraie ⇔ P vraie ET Q vraie "P ou Q" vraie ⇔ P vraie OU Q vraie (ou les deux — inclusif !) P ⇒ Q fausse UNIQUEMENT si P vraie et Q fausse · Si P fausse → implication toujours vraie P ⇔ Q vraie ⇔ P et Q même valeur de vérité · double implication P ⇒ Q ≡ ¬Q ⇒ ¬P (strictement équivalent) ¬(P∧Q) = ¬P∨¬Q · ¬(P∨Q) = ¬P∧¬Q ∀x∈E, P(x) : P(x) vraie pour TOUT x de E · Nier : ∃x∈E, ¬P(x) ∃x∈E, P(x) : il existe AU MOINS un x · ∃!x : unique · Nier : ∀x∈E, ¬P(x) P⇒Q ≡ ¬Q⇒¬P (contraposée). Pour nier un quantificateur : ¬(∀x,P) = ∃x,¬P et ¬(∃x,P) = ∀x,¬P
Supposer P vraie → enchaîner les étapes → conclure Q Prouver (¬Q ⇒ ¬P) plutôt que (P ⇒ Q) — strictement équivalent Supposer ¬Q → montrer contradiction → Q vraie ① Init : vérifier P(n₀) · ② Hérédité : P(n) ⇒ P(n+1) Un seul contre-exemple réfute "∀x, P(x)" La contraposée (¬Q ⇒ ¬P) est ÉQUIVALENTE à (P ⇒ Q) — utilise-la quand P est difficile à exploiter
u<sub>n</sub> = u₀ + n×r · S<sub>n</sub> = (n+1)(u₀+u<sub>n</sub>)/2 u<sub>n</sub> = u₀ × qⁿ · S<sub>n</sub> = u₀(qⁿ⁺¹−1)/(q−1) Chercher si u<sub>n</sub>₊₁ − u<sub>n</sub> = cte (arith.) ou u<sub>n</sub>₊₁/u<sub>n</sub> = cte (géom.) Arith. : r>0 → croissante · Géom. (u₀>0) : q>1 → croissante, 0<q<1 → décroissante Pour une suite définie par récurrence u<sub>n</sub>₊₁=f(u<sub>n</sub>) : étudier le signe de u<sub>n</sub>₊₁−u<sub>n</sub> pour la monotonie
p choix puis q choix → p×q possibilités au total A<sub>n</sub><sup>p</sup> = n! / (n−p)! C<sub>n</sub><sup>p</sup> = n! / (p!(n−p)!) n! = n×(n−1)×…×1 · 0! = 1 · 1! = 1 C<sub>n</sub>⁰ = 1 · C<sub>n</sub>ⁿ = 1 · C<sub>n</sub><sup>p</sup> = C<sub>n</sub>ⁿ⁻<sup>p</sup> · C<sub>n</sub><sup>p</sup> + C<sub>n</sub><sup>p</sup>⁺¹ = C<sub>n</sub>₊₁<sup>p</sup>⁺¹ Triangle de Pascal : ligne n, position p donne C<sub>n</sub><sup>p</sup>. Chaque case = somme des deux au-dessus.
AB = √((x_B−x<sub>a</sub>)²+(y_B−y<sub>a</sub>)²) I = ((x<sub>a</sub>+x_B)/2 ; (y<sub>a</sub>+y_B)/2) y = ax + b ou ax + by + c = 0 (forme générale) a = (y_B−y<sub>a</sub>)/(x_B−x<sub>a</sub>) si x_B ≠ x<sub>a</sub> a₁ = a₂ et b₁ ≠ b₂ a₁ × a₂ = −1 (a+b)²=a²+2ab+b² · (a−b)²=a²−2ab+b² · (a+b)(a−b)=a²−b² P(a)=0 ⇔ (x−a) divise P(x) P(x)=ax²+bx+c · Δ=b²−4ac · x₁,₂=(−b±√Δ)/(2a) Si Δ>0 : P(x)=a(x−x₁)(x−x₂) · Si Δ=0 : P(x)=a(x−x₀)² · Si Δ<0 : pas de racine réelle Si Δ<0 : P(x) a le signe de a. Si Δ≥0 : P(x) négatif entre les racines (si a>0) Somme et produit des racines : x₁+x₂ = −b/a et x₁×x₂ = c/a
1 radian = 180°/π · 180° = π rad · 360° = 2π rad Point M(cosθ ; sinθ) sur le cercle unité (rayon 1) cos²θ + sin²θ = 1 (pour tout θ ∈ ℝ) cos(π−θ) = −cosθ · sin(π−θ) = sinθ · cos(−θ) = cosθ · sin(−θ) = −sinθ cos(π+θ) = −cosθ · sin(π+θ) = −sinθ · cos(π/2−θ) = sinθ · sin(π/2−θ) = cosθ cos 0=1 · cos π/6=√3/2 · cos π/4=√2/2 · cos π/3=1/2 · cos π/2=0 · cos π=−1 tan θ = sin θ / cos θ (définie si cos θ ≠ 0, i.e. θ ≠ π/2 + kπ) Cercle unité : coordonnées du point = (cosθ ; sinθ). Pour tout k∈ℤ : cos(θ+2kπ) = cosθ · sin(θ+2kπ) = sinθ
u<sup>→</sup>·v<sup>→</sup> = |u<sup>→</sup>|·|v<sup>→</sup>|·cos(θ) où θ = angle entre u<sup>→</sup> et v<sup>→</sup> u<sup>→</sup>(x₁;y₁) · v<sup>→</sup>(x₂;y₂) = x₁x₂ + y₁y₂ |u<sup>→</sup>|² = u<sup>→</sup>·u<sup>→</sup> = x² + y² → |u<sup>→</sup>| = √(x²+y²) u<sup>→</sup> ⊥ v<sup>→</sup> ⇔ u<sup>→</sup>·v<sup>→</sup> = 0 ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0 u<sup>→</sup>·v<sup>→</sup> = ½(|u<sup>→</sup>+v<sup>→</sup>|² − |u<sup>→</sup>|² − |v<sup>→</sup>|²) ou = ½(|u<sup>→</sup>|²+|v<sup>→</sup>|²−|u<sup>→</sup>−v<sup>→</sup>|²) BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(Â) → généralise Pythagore Al-Kashi avec  = 90° redonne Pythagore : BC² = AB² + AC²