Maths pour Sciences Économiques · Proba, stats, suites, fonctions
u<sub>n</sub> = u₀ + n·r | Somme n premiers termes : S<sub>n</sub> = n·(u₀+u<sub>n</sub>₋₁)/2 u<sub>n</sub> = u₀·qⁿ | S<sub>n</sub> = u₀·(qⁿ−1)/(q−1) si q≠1 u<sub>n</sub>₊₁ = f(u<sub>n</sub>) → monotonie : signe de u<sub>n</sub>₊₁−u<sub>n</sub> = f(u<sub>n</sub>)−u<sub>n</sub> Valeur actualisée = V / (1+t)ⁿ (t = taux, n = années) Capital après n ans : C<sub>n</sub> = C₀×(1+t)ⁿ Annuités : somme de rentes. Valeur actuelle = a×(1−(1+t)⁻ⁿ)/t (a = montant annuel)
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ · (eˣ)' = eˣ · (ln x)' = 1/x e = (Δq/q) / (Δp/p) = (dq/dp)×(p/q) · |e|>1 : demande élastique Cm = C'(x) = dC/dx → Cm = prix de vente → profit maximum Rm = R'(x) | Profit = R(x) − C(x) | Profit max : Cm = Rm f'(x) = 0 et f''(x) < 0 → maximum | f''(x) > 0 → minimum Point mort (seuil rentabilité) : R(x) = C(x) → trouver x où profit = 0
<span style="text-decoration:overline">x</span> = Σx<sub>i</sub>n<sub>i</sub>/N | ȳ = Σy<sub>i</sub>n<sub>i</sub>/N V(X) = Σn<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>−<span style="text-decoration:overline">x</span>)²/N | σ = √V cov(X,Y) = Σn<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>−<span style="text-decoration:overline">x</span>)(y<sub>i</sub>−ȳ)/N = (Σn<sub>i</sub>x<sub>i</sub>y<sub>i</sub>)/N − <span style="text-decoration:overline">x</span>ȳ r = cov(X,Y) / (σ<sub>x</sub>·σ<sub>γ</sub>) | r ∈ [−1, 1] y = ax + b avec a = cov(X,Y)/V(X) et b = ȳ − a<span style="text-decoration:overline">x</span> |r| > 0.85 → ajustement linéaire acceptable pour interpolation/extrapolation
Arrangements : A<sub>n</sub><sup>p</sup> = n!/(n−p)! | Combinaisons : C<sub>n</sub><sup>p</sup> = n!/(p!(n−p)!) P(A) = Σ P(A|B<sub>i</sub>)·P(B<sub>i</sub>) pour une partition {B<sub>i</sub>} X∼B(n,p) : P(X=k) = C<sub>n</sub><sup>k</sup>p<sup>k</sup>(1−p)ⁿ⁻<sup>k</sup> · E(X)=np E(aX+b) = aE(X)+b | V(aX+b) = a²V(X) Applications : contrôle qualité (lots défectueux), sondages, assurances (espérance de gain/perte)
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C | ∫eˣ dx = eˣ+C | ∫(1/x) dx = ln|x|+C m = (1/(b−a))·∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx Surplus consommateur = ∫₀^x* [D(x)−p*] dx | Surplus producteur = ∫₀^x* [p*−O(x)] dx Surplus consommateur : aire entre courbe de demande et prix d'équilibre.