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Théorème de Ptolémée
National
Année : 2019
Source : Olympiade Régionale Marocaine
Énoncé du problème
Soit $ABCD$ un quadrilatère inscrit dans un cercle (quadrilatère cyclique).
Énoncer et démontrer le théorème de Ptolémée : $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$.
Utiliser Ptolémée pour montrer que dans un triangle équilatéral $ABC$, si $P$ est sur le cercle circonscrit sur l'arc $BC$ ne contenant pas $A$, alors $PA = PB + PC$.
Solution
Théorème de Ptolémée : Démonstration par inversion. Soit $\omega$ une inversion de centre $A$ et rayon $r^2$ quelconque.
Les images de $B, C, D$ sont $B', C', D'$ sur une droite (image du cercle passant par $A$).
Par la formule d'inversion : $B'C' = \frac{r^2 \cdot BC}{AB \cdot AC}$, etc.
L'alignement de $B', C', D'$ donne $B'D' = B'C' + C'D'$ (si $C'$ entre $B'$ et $D'$).
En multipliant par $AB \cdot AC \cdot AD / r^2$, on obtient $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$.
Triangle équilatéral :
Dans le quadrilatère cyclique $ABPC$ (ou $ABCP$ selon la position de $P$) :
On applique Ptolémée à $BPCA$ : $BC \cdot PA = PB \cdot CA + PC \cdot AB$.
Comme $AB = BC = CA = a$ : $a \cdot PA = PB \cdot a + PC \cdot a$.
En divisant par $a$ : $PA = PB + PC$. ✓