Maths pour SVT · Fonctions, stats, probabilités, suites
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ · (eˣ)' = eˣ · (ln x)' = 1/x · (sin x)' = cos x f' > 0 → f croissante · f' < 0 → f décroissante · f'(a) = 0 → extremum possible lim eˣ = +∞ (x→+∞) · lim eˣ = 0 (x→−∞) · lim ln x = −∞ (x→0⁺) · lim ln x = +∞ (x→+∞) f continue sur [a,b], f(a)·f(b)<0 → ∃c: f(c)=0 <span style="text-decoration:overline">x</span> = (Σx<sub>i</sub>n<sub>i</sub>) / N avec N = Σn<sub>i</sub> Valeur qui partage la série en deux moitiés égales (50% de chaque côté) V = (1/N)·Σn<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>−<span style="text-decoration:overline">x</span>)² = (Σn<sub>i</sub>x<sub>i</sub>²/N) − <span style="text-decoration:overline">x</span>² σ = √V · Plus σ est petit, plus les données sont concentrées Étendue = Valeur max − Valeur min Q₁ = 1er quartile (25%) · Q₂ = médiane (50%) · Q₃ = 3e quartile (75%) Boîte à moustaches : [Min, Q₁, Q₂, Q₃, Max] — visualisation de la dispersion
Ω = univers · A, B = événements · P(A) ∈ [0,1] · P(Ω) = 1 P(A|B) = P(A∩B) / P(B) A⊥B ⇔ P(A∩B) = P(A)·P(B) P(A) = P(A|B)·P(B) + P(A|<span style="text-decoration:overline">B</span>)·P(<span style="text-decoration:overline">B</span>) P(B|A) = P(A|B)·P(B) / [P(A|B)·P(B) + P(A|<span style="text-decoration:overline">B</span>)·P(<span style="text-decoration:overline">B</span>)] X∼B(n,p) : P(X=k) = C<sub>n</sub><sup>k</sup>·p<sup>k</sup>·(1−p)ⁿ⁻<sup>k</sup> · E(X)=np · σ=√(np(1−p)) Arbre de probabilité : multiplier sur les branches, additionner les chemins
X∼N(μ,σ²) : courbe en cloche, symétrique par rapport à μ Z = (X−μ)/σ → Z∼N(0,1) (loi normale centrée réduite) P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 68% | P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95% | P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 99.7% P(Z ≤ −a) = P(Z ≥ a) = 1 − P(Z ≤ a) | P(Z ≤ 0) = 0.5 Applications SVT : taille d'une population, durée de vie de cellules, mesures biologiques
u<sub>n</sub> = u₀ + nr | Σu<sub>k</sub> = n×(u₀+u<sub>n</sub>₋₁)/2 u<sub>n</sub> = u₀×qⁿ | Σu<sub>k</sub> (k=0 à n−1) = u₀×(1−qⁿ)/(1−q) (q≠1) |q|<1 → u<sub>n</sub>→0 | |q|>1 → |u<sub>n</sub>|→+∞ Croissance exponentielle (bactéries, virus) : modèle géométrique. Population constante : arithmétique.