كيف تبرر: الاستشهاد بالمبرهنة كالمحترفين

لماذا نذكر المبرهنة باسمها؟

في امتحان باكالوريا العلوم الرياضية، كتابة "حسب مبرهنة القيم المتوسطة" تمنحك نقاطا أكثر من "حسب الدرس" أو "كما رأينا". المصحح يريد أن يرى أنك تعرف ماذا تستعمل.

المبرهنات الـ15 الأساسية وصياغتها

التحليل

1. مبرهنة القيم المتوسطة: "إذا كانت $f$ متصلة على $[a,b]$ وكان $f(a)\cdot f(b)<0$، فإنه يوجد $c\in ]a,b[$ بحيث $f(c)=0$."
2. مبرهنة التقابل: "إذا كانت $f$ متصلة ورتيبة تماما على $[a,b]$، فإنه من أجل كل $k\in [f(a),f(b)]$، تقبل المعادلة $f(x)=k$ حلا وحيدا في $[a,b]$."
3. مبرهنة رول: "إذا كانت $f$ متصلة على $[a,b]$، قابلة للاشتقاق على $]a,b[$، وكان $f(a)=f(b)$، فإنه يوجد $c\in ]a,b[$ بحيث $f^{\prime }(c)=0$."
4. مبرهنة الزيادات المنتهية: "إذا كانت $f$ متصلة على $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على $]a,b[$، فإنه يوجد $c\in ]a,b[$ بحيث $f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime }(c)$."
5. مبرهنة المشتقة المنعدمة (إشارة $f^{\prime }$): "إذا كان $f^{\prime }(x)>0$ على مجال $I$، فإن $f$ تزايدية تماما على $I$."

المتتاليات

6. مبرهنة المتتالية الرتيبة المحدودة: "كل متتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى تكون متقاربة."
7. مبرهنة المتتاليات المتجاورة: "إذا كانت $(u_n)$ متزايدة، و$(v_n)$ متناقصة، وكان $v_n-u_n\to 0$، فإن المتتاليتين تتقاربان نحو نفس النهاية."
8. مبرهنة الحصر: "إذا كان $g(n)\le u_n\le h(n)$ وكان $g(n),h(n)\to L$، فإن $u_n\to L$."

الحسابيات

9. مبرهنة بيزو: "$a$ و $b$ أوليان فيما بينهما ⇔ يوجد $u,v\in \mathbb{Z}$ بحيث $au+bv=1$."
10. مبرهنة كاوس: "إذا كان $a\mid bc$ وكان $\text{pgcd}(a,b)=1$، فإن $a\mid c$."
11. المبرهنة الأساسية في الحسابيات: "كل عدد صحيح $\ge 2$ يكتب بطريقة وحيدة كجداء أعداد أولية."

الهندسة والأعداد العقدية

12. مبرهنة فيثاغورس: "في مثلث قائم الزاوية في $A$، $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$."
13. صيغة موافر: "$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$."
14. صيغة أويلر: "$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$."
15. المبرهنة الأساسية في التحليل: "إذا كانت $F$ أصلية للدالة $f$ على $[a,b]$، فإن $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt=F(b)-F(a)$."

بنية التبرير المثالي

الصيغة التي يجب نسخها:

"$f$ متصلة على $[a,b]$ (مركبة دوال متصلة) و $f(a)\cdot f(b)=(-2)\cdot (3)=-6<0$. حسب مبرهنة القيم المتوسطة، يوجد $c\in ]a,b[$ بحيث $f(c)=0$."

لاحظ 4 عناصر:

• الفرضية 1 محققة بشكل صريح (الاتصال)
• الفرضية 2 محققة بشكل صريح (تغيير الإشارة)
• اسم المبرهنة بخط عريض
• الخلاصة مطبقة بشكل صحيح

الخطأ الشائع الذي يجب تجنبه

❌ "$f$ متصلة وتغير إشارتها، إذن مبرهنة القيم المتوسطة." → أنت لا تُظهر أنك تعرف المبرهنة.

✅ "حسب مبرهنة القيم المتوسطة، يوجد…" → أنت تذكرها باسمها.

تابع مع لائحة المراجعة.