ثلاثة براهين: النسخة التي تجلب 4 نقاط مقابل تلك التي تفقدك 3 نقاط

كيف يعمل هذا؟

سأعرض عليك 3 براهين كلاسيكية محررة بطريقتين:

• النسخة A: أسلوب "تلميذ متوسط" (نقطة 2-3/5)
• النسخة B: أسلوب "تلميذ يحصل على 18/20" (نقطة 5/5)

وسأسرد النقاط المفقودة، سطرا بسطر.

مثال 1 — اتصال دالة

المعطيات: لتكن $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ من أجل $x\ne 2$ و $f(2)=4$. هل $f$ متصلة عند 2؟

النسخة A (النقطة: 2/5)

لدينا $f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$.

إذن $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4=f(2)$.

$f$ متصلة عند 2.

النقاط المفقودة

• ❌ -1 نقطة: "لدينا $f(x)=x+2$" — اختزال دون تحديد "من أجل $x\ne 2$"
• ❌ -1 نقطة: الخلاصة لا تستند إلى تعريف الاتصال
• ❌ -1 نقطة: غياب "ليكن $x\in$ المجال، لدينا..."

النسخة B (النقطة: 5/5)

ندرس اتصال $f$ عند $2$: يجب إثبات أن $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)$.

من أجل $x\ne 2$: $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ (الاختزال مشروع لأن $x\ne 2$).

إذن $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$.

لكن $f(2)=4$ بالتعريف. إذن $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)$، وحسب تعريف الاتصال في نقطة، فإن $f$ متصلة عند $2$. $■$

مثال 2 — دراسة إشارة عبارة

المعطيات: ادرس إشارة $g(x)=(x^2-4)(x-1)$ على $\mathbb{R}$.

النسخة A (النقطة: 2/5)

$x^2-4=(x-2)(x+2)$. إذن $g(x)=(x-2)(x+2)(x-1)$.

عندما $x\ge 2$، $g(x)>0$. عندما $x\le -2$، $g(x)<0$. إلخ.

النقاط المفقودة

• ❌ -1 نقطة: غياب جدول الإشارات (البنية المطلوبة)
• ❌ -1 نقطة: تحليلات مشتتة، دون حالات منهجية
• ❌ -1 نقطة: لم يحدد القيم المنعدمة ($x=-2,1,2$)

النسخة B (النقطة: 5/5)

التحليل إلى جداء: $x^2-4=(x-2)(x+2)$، ومنه $g(x)=(x-2)(x+2)(x-1)$.

جذور $g$ هي $x=-2$، $x=1$، $x=2$.

جدول الإشارات:

• من أجل $x<-2$: $(x-2)<0$، $(x+2)<0$، $(x-1)<0$ ← الجداء سالب ← $g(x)<0$
• من أجل $-2<x<1$: $(x-2)<0$، $(x+2)>0$، $(x-1)<0$ ← الجداء موجب ← $g(x)>0$
• من أجل $1<x<2$: $(x-2)<0$، $(x+2)>0$، $(x-1)>0$ ← الجداء سالب ← $g(x)<0$
• من أجل $x>2$: الكل موجب ← $g(x)>0$

إذن: $g(x)>0$ على $]-2,1[\cup ]2,+\infty [$؛ $g(x)<0$ على $]-\infty ,-2[\cup ]1,2[$؛ $g(x)=0$ من أجل $x\in \{-2,1,2\}$.

مثال 3 — حساب نهاية

المعطيات: احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x+x^2}{e^x-1}$.

النسخة A (النقطة: 1/5)

عندما $x\to +\infty$، $e^x$ يهيمن على كل شيء. إذن النهاية هي 1.

النقاط المفقودة

• ❌ -2 نقطة: "يهيمن على كل شيء" ليس تبريرا رياضيا
• ❌ -1 نقطة: غياب الإخراج كعامل مشترك بشكل صريح
• ❌ -1 نقطة: لم يذكر مقارنة النمو

النسخة B (النقطة: 5/5)

لدينا حالة عدم تعيين $\frac{+\infty }{+\infty }$.

نخرج $e^x$ كعامل مشترك في البسط والمقام:

$\frac{e^x+x^2}{e^x-1}=\frac{e^x(1+x^2{e}^{-x})}{e^x(1-e^{-x})}=\frac{1+x^2{e}^{-x}}{1-e^{-x}}$.

مقارنة النمو: $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2{e}^{-x}=0$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{-x}=0$.

إذن $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+x^2{e}^{-x}}{1-e^{-x}}=\frac{1+0}{1-0}=1$.

$\boxed{\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x+x^2}{e^x-1}=1}$ $■$

الدرس العام

في هذه الأمثلة الثلاثة، تكسب النسخة B 9 نقاط إضافية مقارنة بالنسخة A. على موضوع كامل (4-5 أسئلة × 3 أسئلة فرعية)، يمثل هذا ~5 نقاط فرق نهائي. هذا يجعلك تنتقل من 13 إلى 18.

العودة إلى المنهجية العامة.