الاستدلال بالترجع: الطريقة + مثال مفصل

متى نستخدم الترجع؟

يُستخدم الترجع لإثبات خاصية P(n) صحيحة لكل عدد صحيح طبيعي $n\ge n_0$ (غالبا $n_0=0$ أو $1$). تتعرف على الحاجة للترجع عندما ينص السؤال: «أثبت بالترجع أن...».

المراحل الثلاث الإلزامية

1. التهيئة: نتحقق من أن $P(n_0)$ صحيحة (الحالة الأساسية).
2. الانتقال: نفترض أن $P(n)$ صحيحة لعدد معين $n\ge n_0$، ونثبت أن $P(n+1)$ صحيحة أيضا.
3. الخلاصة: نحرر «حسب مبدأ الترجع، $P(n)$ صحيحة لكل $n\ge n_0$.»

مثال محلول

نص المسألة. أثبت أنه لكل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$.

الترميز. نرمز بـ $P(n)$: «$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$».

التهيئة. من أجل $n=1$: في الطرف الأيسر، $\sum _{k=1}^{1}k=1$. في الطرف الأيمن، $\frac{1\times 2}{2}=1$. إذن $P(1)$ صحيحة.

الانتقال. لنفترض أن $P(n)$ صحيحة لعدد معين $n\ge 1$. لنثبت $P(n+1)$:

$\sum _{k=1}^{n+1}k=\underset{=\frac{n(n+1)}{2}\text{ par HR}}{\underbrace{\sum _{k=1}^{n}k}}+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

هذه هي الصيغة المطلوبة لـ $n+1$. إذن $P(n+1)$ صحيحة.

الخلاصة. بالترجع، $P(n)$ صحيحة لكل $n\ge 1$.

الخطآن الكلاسيكيان

• نسيان التهيئة: بدون الحالة الأساسية، لا تنطلق السلسلة. هذا خطأ فادح (قد تفقد حتى 50% من النقط).
• سوء صياغة الفرضية: تفترض $P(n)$، وليس $P(n+1)$. فرضية الترجع هي المقدمة، وليست النتيجة.

صيغ مفيدة

• الترجع القوي: نفترض أن $P(n_0),P(n_0+1),\dots ,P(n)$ كلها صحيحة لنستنتج $P(n+1)$. مفيد عندما يعتمد $u_{n+1}$ على عدة حدود سابقة.
• الترجع المزدوج: نتحقق من $P(n_0)$ و $P(n_0+1)$، ثم نثبت أن $P(n)$ و $P(n+1)$ تستلزمان $P(n+2)$ (متتاليات من نوع $u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n$).

للمزيد من التعمق

تدرب على تمارين المتتاليات للسنة الثانية باكالوريا — نصف أسئلة الباكالوريا حول المتتاليات تُحل بالترجع.