«قانون الأعداد الكبيرة» المُساء فهمه — وهم اللاعب
«5 مرات وجه تواليا، إذن ظهر أكثر احتمالا»: لا. السحوبات المستقلة ليس لها ذاكرة.
الخطأ النمطي هو التالي: بعد سلسلة من الأحداث المتماثلة والمستقلة، نتوقع أن الحدث المعاكس أصبح أكثر احتمالا. فمثلا، إذا سقطت قطعة نقدية خمس مرات تواليا على «وجه»، يستنتج التلميذ أن احتمال الحصول على «ظهر» في الرمية السادسة أكبر من 0.5. وهذا تعميم خاطئ لقانون الأعداد الكبيرة على متتاليات قصيرة وعلى أحداث فردية.
لنأخذ مثالا ملموسا: سؤال اختيار من متعدّد حول الاحتمالات. السؤال: «يحتوي صندوق على كرات بيضاء وسوداء. بعد 10 سحوبات بإرجاع، حصلنا على 8 كرات سوداء وكرتين بيضاوين. ما هو احتمال الحصول على كرة بيضاء في السحب الحادي عشر؟» الخطأ هو الاعتقاد بأن الاحتمال أكبر من الاحتمال الذاتي لكرة بيضاء، بحجة أن البيضاء «متأخرة».
تقوم الوقاية من هذا الخطأ على فهم دقيق لمفهوم الاستقلال الاحتمالي. قبل كل حساب احتمال، اطرح على نفسك بانتظام السؤال: «هل الأحداث مستقلة؟» إذا كانت كذلك، فإن الماضي لا يؤثر على المستقبل.
- منعكس منهجي: في كل مسألة احتمالات تتضمن سحوبات متتابعة أو تكرارا لتجارب، تحقّق إن كان المعطى يحدّد «بإرجاع» أو «بدون إرجاع». فإذا كان «بإرجاع»، أو إذا كانت الأحداث مستقلة جوهريا (رمي نرد، قطع نقدية)، فإن احتمال كل حدث ثابت.
- الصياغة الشكلية: تذكّر تعريف الاستقلال: . احتمال A علما B يساوي احتمال A. فالمعلومة B (السحوبات السابقة) لا تقدّم أي معلومة عن A (السحب التالي).
- مثال مضاد ذهني: تخيّل أن للقطعة النقدية أو النرد «ذاكرة». هذا لا معنى له فيزيائيا. فالاحتمالات ليست قوى تتراكم أو تتبدّد.
يُستغلّ هذا الخطأ كثيرا في تمارين الاحتمالات في باكالوريا العلوم الرياضية، خاصة في سياقات السحب بإرجاع، ورمي القطع النقدية أو النرد، أو تجارب برنولي المتكرّرة. وقد تعرض المعطيات عمدا متتاليات طويلة من النتائج لإيقاع التلميذ في الخطأ.
فمثلا، في تمرين حول متغير عشوائي حدّاني ، قد يُطلب احتمال الحصول على نجاح في المحاولة علما أنه حصل إخفاقا متتاليا. والجواب الصحيح هو ببساطة ، أي احتمال نجاح محاولة معزولة، وليس قيمة معدّلة بسبب سلسلة الإخفاقات. كما تتطلب سلاسل ماركوف، رغم كونها أكثر تعقيدا، انتباها خاصا لطبيعة التبعية: ففي سلسلة ماركوف، لا يتعلق المستقبل إلا بالحاضر، لا بالماضي البعيد. ومغالطة المقامر (Gambler's Fallacy) هي خلط بين الاستقلال التام وهذه الخاصية الماركوفية.
💡 للفضوليين : لماذا يفعل دماغك هذا عرض ▾إخفاء ▴
إنه قانون الأعداد الصغيرة: ننتظر من الصدفة أن «تصحّح نفسها» فورا، كما لو كانت القطعة النقدية تحتفظ في ذاكرتها بسحوباتها. فبعد خمس مرات وجه، «يجب» أن يسقط ظهر لاستعادة التوازن. لكن قانون الأعداد الكبيرة لا يَعِد بتردّد قريب من إلا عند اللانهاية، أبدا في خمس رميات؛ والقطعة ليس لها ذاكرة. فالمتتالية الحديثة، الحاضرة بقوة في الذهن، يُخلط بينها وبين منحى حقيقي، في حين تبقى كل رمية ، مستقلة عن سابقاتها.